高三年级质量检测(十一) 数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合M={a,0},N={x2x2—5x<0,x∈z},若M∩N≠
，则a等于
（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．1或
2．一枚硬币连掷三次至少出现一次正面的概率为 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知f(x)=ax3+3x2+2,若f′（—1）=4，则a的值等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知a、b是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：①a∥α，a∥β，α∩β= b，则a∥b; ②α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③a⊥α,b⊥β, a⊥b,则α⊥β；④α∥β，β∥γ，a⊥α,则a⊥γ.其中错误的命题的序号是 （ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．已知双曲线
的离心率e<2，则k的取值范围是
（ ）
A．k<0或k>3 B．-3<k<0 C．-12<k<0 D．-8<k<3
6．若向量
则
一定满足
（ ）
A．的夹角等于
B．
⊥
C．
∥
D．⊥
7．下列命题中，使命题M是命题N成立的充要条件的一组命题是 （ ）
A．M:a>b; N:ac2>bc2 B．M:a>b,c>d, N:a-d >b-c
C．M:a>b>0,c>d>0, N:ac>bd D．M:a-b=a+b, N:ab≤0
8．如果一个圆锥中有三条母线两两所成的角均为60°，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心
角等于 （ ）
A．π B．
π C．
D．
9．圆x2+y2-4x-2y+c=0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=90°，则c的值为（ ）
A．8 B．3 C．
D．—3
10．数列
的前n项和为Sn，则
的值等于
（ ）
A．1 B．0 C．2 D．
11．设
的反函数的解析式是 （ ）
A．
B．
C．
D．
12．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f（m）=1.06（0.5·[m]+1）（元）决定，其中
m>0,[m]是大于或等于m的最小整数，（如[3]=3，[3.8]=4，[3.1]=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为 （ ）
（A）3.71元 （B）3.97元 （C）4.24元 （D）4.77元
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上）
13．某高校的某一专业从8名优秀毕业生中选派5名支援中国西部开发建设，某人必须被选
派的种数是 。
14．设抛物线y2=4x的一条弦AB以P（
，1）为中点，则该弦所在直线的斜率为 。
15．已知两异面直线a、b所成的角为
，直线l分别与a、b所成的角都是θ，则θ的取值
范围是 。
16．某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经调查，从1989年到1998年这10年间每两年上升2%，1997年和1998年这两年种植植被815万平方米，当地政府决定今后四年内仍按这一比例发展下去，那么从1999年到2002年种植植被面积为
（保留整数）。
三．解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字证明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）试判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）解不等式
18．本小题满分12分）
已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若
求A、B、C的大小。
19．（本小题满分12分）在三棱锥P—ABC中，PA=a, AB=AC=
a，∠PAB=∠PAC=45°，
cos∠BPC=
（Ⅰ）D是AB上任意一点（D与A、B不重合），DE⊥PB于E，求证AP∥平面DEC；
|
20．（本小题满分12分）
某生产流水线，由于改进了设备，预计第一年产量的增长率为160%，以后每年的增长率是前一年的一半。设原来的产量是a .
（Ⅰ）写出改进设备后的第一年，第二年，第三年的产量，并写出第n年与第n-1年（n≥2,n∈N）的产量之间的关系式；
（Ⅱ）由于设备不断老化，估计每年将损失年产量的5%，如此下去，以后每年的产量是否始终是逐年提高？若是，请给予证明；若不是：请说明从第几年起，产量将比上一年减少？
（21）（本小题满分12分）
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，A（—，1）、B（，1），S△ABC=（平方单位），动点P在曲线E（y≥1）上运动，若曲线E过点C且满足PA+PB的值为常数.
（Ⅰ）求曲线E的方程；
|
（22）（本小题满分14分）
设函数
的定义域是x>0，若函数
有最小值m，且m>2+
,求a的取值范围.
高三年级质量检测11答案
一．
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答 案 | C | A | B | B | C | B | D | C | D | A | B | C |
二．13.35 ; 14.2 15.[
]；16.1679万平方米 .
三．17．解：（Ⅰ）
且
内是奇孙数．…………５分
（Ⅱ）依题意，得
……………………………………………６分
解之，得
．……………………１２分
18．解：由
…………………1分
………………………………………3分
A是△ABC的内角，
……………………………………5分
由正弦定理知sinB+sinC=
8分
|
B、C是△ABC的内角，
B=
，C=
或C=，B=.12分
19．（Ⅰ）证明：在△PAB中，AP=a , AB=a , ∠PAB=45°，
∠PAB
=
AP2+PB2=2a2=AB2. △PAB是直角三角形，且AP⊥PB . 又AP、DE都在平面PAB内，且DE⊥PB，
AP∥DE，故AP∥平面DEC.…………………………………………4分
（Ⅱ甲）在 △PAC中，同（Ⅰ）理，得AP⊥PC，而PC∩PB=P，AP⊥平面PBC .………………6分
又平面PAC与平面DEC有一公共点C，且AP∥平面DEC，高PAC∩平面DEC=l，则C∈l，且AP∥l .
l⊥平面PBC于C . PC⊥l，CE⊥l，从面∠PCE即为所求二面角P-l-E的平面角.…………8分
在Rt△PAC中，∠PAC=45°，故PA=PC=a ，同理PB=a . 又D是AB的中点，DE∥AP，则E是PB的中点，从而PE=a . 在△PEC中，cos∠BPC=
，PC=a , PE=a ，
∠BPC=
∠PCE=
故所求二面角的余弦值为
.………………12分
（Ⅱ乙）如图，建立空间直角坐标系. 由已知，得A、B、C三点的坐标分别为A（0，a ,0）、
B（
………………………………………………………7分
9分 D是AB的中点，DE∥AP，E是PB的中点，
且
…………12分
20．解：（Ⅰ）设第n年的产量为an ,则
a1=a(1+160%), a2=a(1+160%)(1+80%) a3==a(1+160%)(1+80%) (1+40%),………
即
…………………………………………………………3分
………………6分
（Ⅱ）依题意，
（1-5%）. 若以后每年的产量逐年减少，
即
（1-5%）<1 .
但22>
,21<,且n≥2，n∈N，∴当n-4≥2，即n≥6时，
故从第6年起，产量比上一年减少.………………12分
21．（Ⅰ）解：∵AB=2，S△ABC=AC·AB=，∴AC=1.但BC2=AC2+AB2，从而BC=3 .
又PA+PB=AC+BC=4>2，∴P点在以A、B为焦点，半长轴为a=2，半焦距为c=,半短轴为b=的椭圆E（y≥1）上.
∴曲线E的方程为
………………6分
（Ⅱ）设直线l：y=x+m ,代入E的方程，消x ,可得3y2-2(m+2)y +m2-2 =0 .令f(x)= 3y2-2(m+2)y +m2-2 .方程f(y)=0，有两个不小于1，且不相等的实根时，有
解之，得
. …………9分
设PQ的中点为M（x ,y ），P、Q两点的坐标分别为P（x1 ,y1）,Q（x2 ,y2）,
将m=3y-2代入y=x+m得
y =
即为M点的轨迹方程.………………………………12分
22．解：
即
∵函数f(x)，g(x)定义域为x>0,∴函数F（x）的定义域为x>0.
…………3分
1°当a<0时，
则F（x）<2,与F（x）≥m>2+矛盾.…………5分
2°当0<a≤
时，
函数F（x）在x>0上是增函数，即F（x）=m，当x<x0时，有
F（x）< F（x0）=m与F（x）≥m 矛盾.……………………7分
3°当a≥4时，
函F（x）在x>0上是减函数，即F（x0）=m ,当x>x0时,有F（x）< F（x0）=m与F（x）≥m 矛盾.……………………9分
∴<a<4,此时
当且仅当
即
时，F （x）取得最小值
…………12分
当m>2+时，有
即
解得
…………………………14分.