高考数学模拟试卷2
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷(第1题至12题)，第Ⅱ卷(第13题至22题)．共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题共60分)
注意事项：
1．第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、试题科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
如果事件A、B相互独立，那么
P(A·B)＝P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
Pn(k)＝
Pk(1－P)n－k
正棱锥、圆锥的侧面积公式
S锥侧＝
cl
其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长
球的体积公式
V球＝
πR3
其中R表示球的半径
| 卷别 | 第Ⅰ卷 | 第Ⅱ卷 | 总分 | ||||||
| 题号 | 一(1～12) | 二(13～16) | 三(17) | 四(18) | 五(19) | 六(20) | 七(21) | 八(22) | |
| 得分 | |||||||||
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的
四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
(1) 设M和m分别表示函数
的最大值和最小值，则M+m等于
（A）
（B）
（C）
（D）－1
(2) 设集合M=
，N=
，则
(A)N
M (B)M
N=M (C)M
N=M (D)MN=
(3) 若
，则下列结论不正确的是
(A)
(B)
(C)
(D)
(4) 直线
，
互相平行的一个充分条件是
(A) ，都平行于同一个平面
(B) ，与同一个平面所成的角相等
(C) 平行于所在的平面
(D) ，都垂直于同一个平面
(5) 若二项式
的展开式的第5项是常数项，则自然数
的值为
(A)6 (B)10 (C)12 (D)15
(6) 已知
，则
的值为
(A) 
(B)
(C)
(D) 
(7) 函数
的图象是
(A)
(B)
(C)
(D)
（8）椭圆
的焦点在
轴上，长轴长是短轴长的两倍，则
的值为
(A)
(B)
(C)2
(D)4
(9) 若曲线
在点P处的切线平行于直线
，则点P的坐标为
(A)（1，3） (B)（
，3） (C)（1，0） (D)（－1，0）
(10) 已知函数
是R上的偶函数，且在
上是减函数，若
，则实数a的取值范围是
(A)a
(B) a
或a
(C) a
(D)
(11)如图，E、F分别是三棱锥
的棱AP、BC的中点， 
，
，EF=7，则异面直线AB与PC所成的角为
(A) 600 (B)450 (C) 300 (D)1200
(12) 圆心在抛物线
（
）上，并且与抛物线
的准线及
轴都相切的圆的方程是
(A)
(B)
(C)
(D)
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
注意事项：
1．第Ⅱ卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上，不要在答题卡上填涂．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
(13)若
是数列
的前项的和，
，则
．
(14) 若、满足
则
的最大值为
.
(15) 有
、
、
、
、
五名学生参加网页设计竞赛，决出了第一到第五的名次，、两位同学去问成绩，老师对说：“你没能得第一名”．又对说：“你是第三名”，从这个问题分析，这五人的名次排列共有
种可能（用数字作答）．
(16) 若对个向量
存在个不全为零的实数
，使得
成立，则称向量为“线性相关”．依此规定，
能说明
，
，
“线性相关”的实数
依次可以
取 （写出一组数值即可，不必考虑所有情况）．
三、解答题：本大题6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(17)(本小题满分12分)
已知
=
，求
的值．
(18)(本小题满分12分)
已知等比数列的公比为
，前n项的和为，且
，
，
成等差数列．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求证
成等差数列．
(19) (本小题满分12分)
一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．
（Ⅰ）从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
（Ⅱ）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率．
注意：考生在(20甲)、(20乙)两题中选一题作答．如果两题都答，只以(20甲)计分．
(20) (本小题满分12分)
（甲）如图，正三棱柱
的底面边长为
，点
在边
上，
是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．
(Ⅰ) 求证点为边的中点；
(Ⅱ) 求点到平面
的距离；
(Ⅲ) 求二面角
的大小．
(乙) 如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=
，BB1=
，D为A1C1的中点，E为B1C的中点，
（Ⅰ）求直线BE与A1C所成的角；
（Ⅱ）在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出
；若不存在，说明理由．
(21)(本小题满分12分)
已知双曲线:
，是右顶点,
是右焦点, 点在轴正半轴上，且满足
成等比数列,过作双曲线在第一、三象限的渐近线的垂线
，垂足为
．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若与双曲线的左、右两支分别相交于点、，求双曲线的离心率
的取值范围．
(22)(本小题满分14分)
设函数
，
，且方程
+1=0有实根．
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）证明：
；
（Ⅲ）若是方程+1=0的一个实根，判断
的正负并加以证明．
高考数学模拟试卷2参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
(1)C (2)B (3) D (4)D(5) C (6) A(7)C (8)A (9)C (10)B (11)A (12)D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
(13)33 (14)7 (15)18 (16) 只要写出
中一组即可，如
等
三、解答题
17、解: (方法一)
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|
|
.
(方法二)
|
|
|
|
|
|
18、解：(Ⅰ)方法一
由，，成等差数列，得
，
………………2分
若
，则
，
，
由
得
，与题意不符，所以
。 ……………4分
由，得
。 ………………6分
整理，得
。
由
，得
。
…………………8分
(Ⅰ)方法二
由，，成等差数列，得
，
…………………2分
…………………4分
移项得
|
|
(Ⅱ) 方法一
由(1)知：
|
所以成等差数列。
…………………………………………12分
(Ⅱ) 方法二
由(1)知：
|
所以成等差数列。
…………………………………………12分
19、解：（Ⅰ）记“摸出两个球，两球恰好颜色不同”为A，
摸出两个球共有方法
种，
………………………………2分
其中，两球一白一黑有
种. ………………………………4分
.
………………………………6分
（Ⅱ）法一：记摸出一球，放回后再摸出一个球 “两球恰好颜色不同”为B，
摸出一球得白球的概率为
，
摸出一球得黑球的概率为
，
……………………………8分
“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”， ……………10分
.
……………………………12分
法二：有放回地摸两次，互相独立. …………………………8分
摸一次得白球的概率为
,
……………………………10分
“有放回摸两次，颜色不同”的概率为
………………………12分
20、（甲）解: (Ⅰ) 
为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，
．
正三棱柱,
且
． …………………………2分
在底面内的射影为
，
．
，
点为边的中点．
……………………………………………4分
(Ⅱ) 过点作
，
由(Ⅰ)知
，
，
，
， ……………………………………………6分
由(Ⅰ)知，
，
且
．
．
．
点到平面的距离为底面边长为
． ………………………8分
(Ⅲ) 过点作
，
，
为
在平面
内的射影，
，
是二面角的平面角．……………10分
在直角三角形
中，
，
，
，
二面角的大小为45O．
…………………………………12分
(乙) 解: （Ⅰ）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．……1分
，
……………………………3分
，
，
，
．
…………………5分
故
与
所成的角为
． …………………………………6分
（Ⅱ）假设存在点，使
，不妨设
，
，
， ……………………8分
……………………9分
由
， …………………11分
故当
．………………………………12分
21、解：（Ⅰ）法一．
，
解得
…2分
|
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|
|
（Ⅱ）
|
|
|
22、解：（Ⅰ）
|
又 
故 
． …………………………………4分
方程+1=0有实根，即
有实根．
故 
即 
． …………………………6分
又 ，
得 ．
由 
知．
………………………………8分
（Ⅱ）
|
，
．
．
…………………………………12分
．
的符号为正．
…………………………………14分