高三数学第一学期第二阶段测试答案
一．选择题： 学号_______ 姓名_______
1．D 2, A 3, D 4, B 5, B 6, D 7, C 8, A 9, D 10, C 11, C 12, B
二．填空题：13： 
_ ；
14：①③④ ； 15：_
；
16：_l
_a______
___l_a_____
__l_a_______
三．解答题：
17,知函数
.
(1)化简
的解析式； （2）若
，求
使为偶函数；
（3）在（2）成立的条件下，求满足=1 且 
的ｘ集合
解：（1）由题得
（2）当
时，
为偶函数.
（3）由
得
所求
的集合为
18.
|
（Ⅰ）试用基向量
（Ⅱ）求异面直线OD1与AE所成的角；
（Ⅲ）判断平面D1AE与平面ABCE是否垂直？并说明理由.
解：（Ⅰ）根据已知，可得四边形ABCE为平行四边形.
所以，O为BE中点.
（3分）
（Ⅱ）
所以OD1与AE所成角为
（7分）
（Ⅲ）设AE的中点为M，则
|
平面AD1E，所以，平面AD1E⊥平面ABCE.
19,(满分12分）如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，
侧面ABB1A1是∠A1AB=60°的菱形，且平面ABB1A1⊥ABC，
M是A1B1上的动点.
（1）当M为A1B1的中点时，求证：BM⊥AC；
（2）试求二面角A1－BM－C的平面角最小时
三棱锥M－A1CB的体积.
解：（1）∵ABB1A1是菱形，∠A1AB=60°，且M为A1B1的中点，∴BM⊥A1B1，又A1B1∥AB，∴MB⊥AB.平面ABB1A1⊥平面ABC，∴MB⊥平面ABC.又AC平面ABC. ∴BM⊥AC ……4分 （2）作CN⊥AB于N，由于△ABC为正三角形，知N为AB为中点，又平面ABB1A1⊥平面ABC，∵CN⊥平面A1ABB1，作NE⊥MB于E点，连CE，由三垂线定理可知CE⊥BM，∴∠NEC为二面角A1—BM—C的平面角。…7分 由题意可知CN=
，在Rt△CNE中，
要∠NEC最小，只要NE取最大值。又∵△A1B1B为正三角形，∴当M为A1B1中点时，MB⊥平面ABC，即E与B重合。此时NE取最大值且最大值为1，∴
∴∠NEC的最小值为60° ……10分 此时
……12分
.
20、乙两家电公司，2000年的市场占有率均为A，根据市场分析和预测，甲公司从2000年（第一年）起市场占有率
与
呈抛物线（如图一），乙公司自2000年起年的市场占有率
都有所增加，规律如图二。
图一 图二
（1） 根据两图信息，求出两公司第年市场占有率，的表达式。
（2） 根据甲、乙两公司所在地的市场规律，如果某公司市场占有率不足另一公司市场占有率的20%，则该公司将被另一公司兼并，经计算2019年之前不会出现兼并局面，试问2019年是否会出现兼并局面，并说明理由。
解：（1）由
(2分)
设
则
得：
(5分)
由
得 
(8分)
（2）2019年，即经过20年时，
若出现兼并局面，则甲公司兼并乙公司。
此时
∴到2019年，甲公司将兼并乙公司。 (14分)
21,函数f（x）在（－1，1）上有定义，
且满足x、y∈（－1，1） 有
．
（1）证明：f（x）在（－1，1）上为奇函数；
（2）对数列
求
；
（3）求证
讲解 （1）令
则
令
则
为奇函数.
（2）
， 
是以－1为首项，2为公比的等比数列．
（3）
而 
本例将函数、方程、数列、不等式等代数知识集于一题，是考查分析问题和解决问题能力的范例. 在求解当中，化归出等比（等差）数列是数列问题常用的解题方法.
22. （本题满分14分）已知函数满足
,
且使
成立的实数是唯一的.
(1)
求函数的解析式、定义域、值域；
(2)
如果数列
的前项和为
，且
，试求此数列的前3项，由此猜想数列的通项公式，并予以证明.
解：
有唯一解
由
得
,定义域为
， 值域为
（2）
, 
相减得
即：
.
猜想：
用数学归类法证明之.
(1)当n=1时,分式成立.
(2)假设n=k时公式成立，即：
，
即n=k+1时分式也成立。 由（1）（2）知
恒成立.