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学科：数学 |
| 教学内容：高三数学第一学期期末综合检测 |
【同步达纲练习】
参考公式：
三角函数的和差化积公式
正棱台、圆台的侧面积公式 
其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长
台体的体积公式：
其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知（x,y）在映射f下的象是(x+y,x-y),则（1，2）的原象是
（A）
（B）
（C）（2，1） （D）（2，-1）
（2）已知复数
，则它的的共轭复数
的辐角主值是
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）一个半径为5cm，圆心角为216°的扇形，卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高是
（A）
（B）4cm
（C）
（D）6cm
（4）过点
的直线l与直线x-y-1=0的交点在圆
上，则l的斜率为
（A）-2 （B）-2或0
（C）2 （D）2或0
（5）已知α、β、γ为三个不同的平面，a为一条直线，有下列四个命题：
①
②
③
④
其中正确的命题是
（A）①②④ （B）①④
（C）①③④ （D）②③
（6）双曲线
的焦点到渐近线的距离是
（A）3 （B）4
（C）5 （D）6
（7）在数列
中，
，则当前n项和取得最小值时的n的等于
（A）3 （B）4
（C）3或4 （D）4或5
（8）若x、
，3x+y=3,则
的最大值是
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）已知α、
，
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）三年定期储蓄的年利率为2.7%（不计复利，即每年所得利息不计入本金），利息税为20%，某人三年后取款时得到税后利息2241元，则此人当时存入银行的金额在
（A）1至2万元之间 （B）2至3万元之间
（C）3至4万元之间 （D）4至5万元之间
（11）一个正方体的四个顶点都在一个半球的大圆面上，另四个顶点都在这个半球面上，若半球的体积为V，则正方体的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）已知定义域为R的奇函数g(x)，令f(x)=g(x)+k,其中k为常数，又f(-a)=m，则f(a)=
（A）2k-m （B）2k+m
（C）-2k+m （D）-2k-m
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
（13）抛物线
的准线方程是_________。
（14）从1，2，3，4，5中任取两个数，分别作为对数的底数和真数，则可以得到______个不同的对数值。
（15）把函数
的图象沿x轴向左平移一个单位后，得到图象C，则C关于原点对称的图象的函数解析式为______.
（16）长方体一个顶点上三条棱的长分别为a、b、c，(a、b、c两两不等)，一条对角线为AB，长方体的表面上A、B两点间的最短路程为
，则a、b、c的大小关系是________________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
（17）（本小题满分12分）
解关于x的不等式
（a>0,a≠1）
（18）（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）试判断函数f(x)在定义域上的单调性并用单调性定义证明；
（Ⅱ）若函数f(x)的反函数为
，解方程：
（19）（本小题满分12分）
已知：
，cosαcosβ=cosα+cosβ,
求：
的值。
（20）（本小题满分12分）
已知：如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得的，其中AB=4，BC=1，BE=3，CF=4。
（Ⅰ）求异面直线EF与AD所成的角；
（Ⅱ）求截面AEFG与底面ABCD所成锐二面角的正切值；
（Ⅲ）求这个多面体的体积。
（21）（本小题满分12分）
已知等比数列的首项和公比皆为a,它的前n项和为
（Ⅰ）求数列
的前n项和
；
（Ⅱ）求
的值
（22）（本小题满分14分）
斜率为
的直线过椭圆
（a>b>0）的右焦点F，与椭圆交于两点A、B，与y轴交于点C，且B为CF的中点，又A、B两点到右准线的距离之和为
，求椭圆方程。
参考答案
【同步达纲练习】
一、（1）B（2）B（3）B（4）D（5）B（6）A（7）A（8）C（9）A（10）C（11）C（12）A
二、（13）
（14）13（15）
（16）a>b且a>c
三、（17）解（一）令
，则原不等式化为
…………………………………………………………2分
或
……………………………………6分
或t>3
……………………………………………………10分
即 
，
∴当0<a<1时，
；当a>1时，
…………………………12分
解（二）令
，则
原不等式化为
………………………………………………2分
或t<-2（舍）………………………………6分
即
…………………………………………10分
∴当0<a<1时，；当a>1时，…………………………12分
（18）解：（Ⅰ）令
，解得函数f(x)的定义域为-2<x<1……………………1分
令
，则
…………………………3分
，则
，
，
则
，
。
f(x)为定义域上的减函数………………………………8分
（Ⅱ）由，得
………………………………10分
即
解得x=8
检验后，x=8为原方程的解…………………………12分
（19）解：由cosαcosβ=cosα+cosβ，得
……………………4分
………………8分
令
，又
，
则
……………………………………10分
整理后，得
解得 
或
∴
…………………………………………12分
（20）解：（Ⅰ）∵AEFG为截面，又平面ADG∥平面EBCF，
∴AG∥EF，∠GAD为所求。
可求得GD=4-3=1，
∴
，
∠GAD=45°……………………4分
（Ⅱ）延长FE和CB，相交于H，连AH。作EQ⊥AH交AH于Q，连BQ。由三垂线定理，得BQ⊥AH。
则∠EQB为所求二面角的平面角………………6分
由EB：FC=HB:HC，得3:4=HB:（HB+1）
解得HB=3。
在Rt△ABH中,求得AH=5
由
，可求得
.
在Rt△EQB中，
………………………………9分
（Ⅲ）再取一个与这个多面体一样的多面体，使截面对接，可组成一个长方体。
∴
………………………………12分
（21）解：（Ⅰ）由已知，a≠0.
当a=1时，
，
…………………………2分
当a≠1时，
……………………………………………………6分
（Ⅱ）当a=1时，
∴
…………………………………………9分
当a≠1时，
无论a<1还是a>1,当
时，都有
∴
…………………………………………………………12分
（22）解：设椭圆右焦点为（c,0），则直线方程为
令x =0，求得点C的坐标为
由中点坐标公式求得B点坐标为
………………………………2分
由点B在椭圆上，得
。
把
代入，解得
……………………………5分
又设
解方程组
代入消去y并整理，得
∴
将代入并整理，得
………………………………8分
由已知，
………………………………10分
由
及得c=2b.
代入上式，得
解得 b=1, ∴
则
为所求…………………………………………14分