试卷类型：A
高三数学普通高中毕业班综合测试（二）
数 学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分为150分.考试时间120分钟.
第 I 卷（选择题 共60分）
注意事项：
1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号、考试科目、试卷类型（A或B）用铅笔涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.
参考公式：
三角函数和差化积公式
正棱台、圆台的侧面积公式
其中
、
分别表示上、下底面周长，
表示斜高或母线长
台体的体积公式
其中
、
分别表示上、下底面积，
表示高
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
（1）函数y=sinx+cosx的最大值为
(A) －
(B)
－1 (C) 1
(D)
（2）以P（2，3）为圆心，并且和直线x+y－3＝0相切的圆的方程为
（A）(x+2)2+(y+3)2=2 （B）(x－2)2+(y－3)2=2
（C）(x+2)2+(y+3)2=
（D）(x－2)2+(y－3)2=
（3）已知一个圆柱的侧面积为8π，且这个圆柱的底面直径与高都等于同一个球的直径，则这个球的表面积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）已知集合B={2，3}，则满足条件A
B的集合A有
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（5）设复数
－i，1－i的辐角主值分别为α、β，则α－β的值为
（A）
（B）
（C）
（D）－
（6）函数
的图象
（A）关于原点对称 （B）关于x轴对称
（C）关于y轴对称 （D）关于直线y=x对称
（7）已知数列{an}（n∈N）中，a1=1，an+1=
，则这个数列的通项an为
（A）2n－1 （B）2n+1
（C）
（D）
（8）现要从10名大学应届毕业生中分配4人到甲、乙、丙三个单位工作，其中甲单位2人，乙单位和丙单位各1人，则不同的分配方法共有（ ）.
(A) 5040种 (B) 2520种 (C) 2025种 (D) 1260种
（9） a = －
是函数f (x)=ln(ex+1)+ a x为偶函数的
（A）充分条件，但非必要条件 （B）必要条件，但非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分条件，也非必要条件
（10）若函数f(x)＝logax－1（a＞0，a≠1）在区间（0，1）上为减函数，则f(x)在区间（1，＋∞）上为
（A）减函数且有最小值 （B）减函数且无最小值
（C）增函数且有最大值 （D）增函数且无最大值
（11）在边长为a的菱形ABCD中，∠BAD =
，将△BAD绕BD旋转
后点A到达点A/，则三棱锥
A/—BCD的体积为
（A）
a3
（B）
a3
（C）
a3
（D）
a3
（12）点P是双曲线
=1右支上一点，F是该双曲线的右焦点，点M为线段PF的中点，若OM=3，则点P到该双曲线右准线的距离为
（A）
（B）
（C）
（D）
第 Ⅱ 卷（非选择题 共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷全部是非选择题，必须在答题卡非选择题答题区指定的区域内，用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，不能答在试卷上，否则答案无效．
二． 填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。
（13）若在
的展开式中，第9项为常数项，则n = .
（15）如图, 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为
正方形ABCD的中心，E、F分别为AB、BC的中点，
则异面直线C1O与EF的距离为 .
（16）已知椭圆
+y2=1（m＞0）的离心率为
，则m的值为
．
（16）若x∈R，则函数f（x）=(x－1.1)2+(x－1.2)2+(x－1.3)2+(x－2.7)2+(x－2.8)2+(x－2.9)2的最小值为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
解关于x的不等式
≤x－a（a＞0）.
（18）（本小题满分12分）
在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的外接圆的半径R=，且
，分别求出B和b的大小.
|
（19）（本小题满分12分）
如图所示，在正四棱锥P—ABCD中，AB =2a，
E为PB的中点，O为底面ABCD的中心，侧面PAD
与底面ABCD所成的二面角为600．
（Ⅰ）证明：AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）求异面直线EA与PD所成角的正切值.
（20）（本小题满分12分）
设点P（x，y）（x≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M（，0）的距离比点P到y轴的距离大.
（Ⅰ）求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；
（Ⅱ）若直线
与点P的轨迹相交于A、B两点， 且OA⊥OB，点O到直线的距离为，求直线的方程．
（21）（本小题满分12分）
为了响应国家开发西部的号召，沿海地区A公司决定一次性投资156万元，从下个月开始对西部地区B企业进行扶持性技术改造．B企业的经营现状是：⑴每月收入为45万元；⑵因设备老化，从下个月开始需支付设备维修费，第一个月为3万元，以后逐月递增2万元．据预测，经更新设备等技术改造后，B企业第一个月的收入应为16万元，在以后的3个月中，每月的收入都将比上个月增长50%，而后各月的收入都会稳定在第4个月的水平上，假设改造时间和其它费用忽略不计．
（Ⅰ）如果B企业按现状一直生产下去，从下个月开始，最多可维持多少个月使其每月的收入不少于当月需要支付的设备维修费？
（Ⅱ）从下个月开始至少经过多少个月，改造后的B企业的累计净收入不少于仍按现状生产所带来的累计净收入？（注：净收入＝收入－投资或设备维修费）
（22）（本小题满分14分）
已知函数f（x）=ax2+bx+c（ a，b，c
R），当x∈[－1，1]时，f（x）≤1．
（Ⅰ）证明：b≤1；
（Ⅱ）设g（x）=cx2+bx+a，证明：当x∈[－1，1]时，g（x）≤2．
（Ⅲ）若f(0)=－1，f(1)=1，求实数a的值.
普通高中毕业班综合测试(二)
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：
（1）D （2）B （3）D （4）C （5）C （6）A
（7）C （8）B （9）C （10）D （11）B （12）A
二、填空题：
（13）16 （14）
a
（15）2或 （16）3.88
三、解答题：
（17）本小题主要考查无理不等式的解法和运算能力.满分12分.
解：当a＞0时，原不等式等价于
------------------------------------------5分
-----------------------------------------------------------------------------------9分
2a≤x≤
a.
∴ 原不等式的解为{x2a≤x≤a
}.------------------------------------------------------------------12分
（18）本小题主要考查解斜三角形和三角恒等变换等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力.满分12分.
解：由正弦定理
，得
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入得 
．------------------------------------------3分
整理得 sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB．
即 sin（B+C）=2sinAcosB．-----------------------------------------------------------------------6分
∵ A+B+C=180°，∴ sin（B+C）= sinA，
∴ sinA=2sinAcosB．----------------------------------------------------------------------------------8分
∵ sinA≠0， ∴ cosB=，
∴ B=60°．-------------------------------------------------------------------------------------------10分
∵
R=，
∴ b=2RsinB
=2sin60°=3.---------------------------------------------------------------------------12分
（19）本小题注意考查空间线面关系和空间角的概念，考查空间想象能力.满分12分.
（Ⅰ）证明：连接PO.
∵O为正四棱锥P—ABCD底面ABCD的中心，
∴PO⊥底面ABCD.
∵AC底面ABCD，
∴AC⊥PO.----------------------------------------------------------------------------------------------2分
∵正四棱锥P—ABCD底面ABCD为正方形，
∴AC⊥BD.
∵BD平面PBD，PO平面PBD，且BD∩PO＝O，
∴AC⊥平面PBD.-------------------------------------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）解：设AD的中点为M，再连结EO，OM，PM．
∵O为底面正方形ABCD的中心，E为PB的中点，
∴ EO∥PD．
∴ ∠AEO为异面直线EA与PD所成的角．-------------------------------------------------7分
∵ M为AD的中点，∴ OM⊥AD，PM⊥AD，
∴ ∠PMO为侧面PAD与底面ABCD所成二面角的平面角，
∴ ∠PMO = 600．-----------------------------------------------------------------------------------9分
|
∴ OA=a，OM = a，且易求得PM=2a，PD =
a，
于是，EO =PD =
a．
∵ EO 平面PBD， ∴AC⊥平面PBD，
∴ OA⊥EO．
在直角三角形AOE中，tg∠AEO=
=
，
∴ 异面直线EA与PD所成角的正切值．------------------------------------------12分
（20）本小题注意考查曲线与方程、直线与圆锥曲线的关系等基础知识，考查综合运用所学知识解决问题的能力.满分12分.
解：（Ⅰ）依题意得
PF=d+，其中d表示点P到y轴的距离
即 
=x+----------------------------------------------------------------------2分
∵ x≥0，
∴ =x+
整理得 y2=2x.
这就是动点P的轨迹方程，它表示顶点在原点，对称轴为x轴，开口向右的一条抛物线．--4分
（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，由题意可知直线的方程是：x=
联立x=与y2=2x，可求得点A、B的坐标分别为（，
）与（，—）
此时不满足OA⊥OB．-----------------------------------------------------------------------------------------6分
（2）当直线的斜率存在时，可设直线的方程为：y=kx+b（其中k≠0，b≠0）
将
代入y2=2x中，并整理得：ky2—2y+2b=0
①
设直线与抛物线C的交点坐标为：A（x1，y1），B（x2，y2），则y1、y2是方程①的根，
于是
y1y2=
又由OA⊥OB可得 x1x2+y1y2=0 ②
将x1=
，x2=
，即 y1y2+4=0
∴ b+2k=0 ③-----------------8分
又由点O到直线的距离为，得
=
④---------------10分
联解③、④得 k=1，b=－2或k=－1，b=2
故直线的方程为 y=x－2或y=－x+2.--------------------------------------------------------------12分
（21）本小题主要考查等差数列和一元二次不等式的解法等基础知识，考查运用所学知识解决实际问题的能力.满分12分.
解：（Ⅰ）设B企业从下个月开始第n个月支付的设备维修费为an，依题意可知{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，即 an=2n+1------------------------------------------------------------------------------3分
要使企业不亏本，必须an≤45
∴ 2n+1≤45，即n≤22
所以，如果B企业按现状一直生产下去，从下个月开始企业最多能维持22个月，使其每月的收入不少于当月需要支付的设备维修费.-----------------------------------------------------------------------------6分
（Ⅱ）设B企业按现状生产至第n个月所带来的总收益为An（万元），技术改造后生产至第n个月所带来的总收益为Bn（万元）.
依题意得，An=45n－[3+5+…+（2n+1）]=43n－n2.
当1≤n≤4时，因
，故不合题意.
当n≥5时，Bn=16+16·1.5+16·1.52+16·1.53+16·1.53（n－4）－156
=54n－242.---------------------------------------------------------------------------------9分
∴ 当n≥5时，由Bn－An=n2+11n－242≥0，解得 n≥11．
∴至少经过11个月，改造后的B企业的累计净收益不少于仍按现状生产所带来的净收益.----12分
（22）本小题主要考查二次函数和绝对值不等式等基础知识，考查逻辑推理能力、探究能力和综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）证明：∵ f(1)=a+b+c，f(－1)=a－b+c，∴b=[f(1)―f(―1)].-----------------------2分
∵当x∈[－1，1]时，f（x）≤1，
∴ f（1）≤1， f(－1)≤1，
∴ b=f（1）－f(－1) ≤[f（1）+f(－1) ]≤1．--------------------------------------4分
（Ⅱ）证法一：∵ f（x）=ax2+bx+c，
∴ f（1）= a+b+c， ①
f（-1）= a-b+c， ②
f（0）=c． ③
联解①、②、③，得
a= 
[f（1）+ f（-1）] - f（0）, b= [f（1）- f（-1）]， c=f（0）． …7分
于是
g（x）= f（0）x2+[f（1）- f（-1）] x + [f（1）+ f（-1）] - f（0）
=f（0）( x2-1)+ f（1）(x+1)+ f（-1）(1-x) ．
…10分
∵ x∈[—1，1]， ∴ x2-1≤0， x+1≥0 ， 1- x≥0．
且f（1）≤1，f（-1）≤1，f（0）≤1，
∴ g（x）=f（0）( x2-1)+ f（1）(x+1)+ f（-1）(x-1)
≤f（0） ( x2-1) + f（1） (x+1) + f（-1） (x-1)
≤ ( x2-1) + (x+1) + (x-1)
= (1- x2) + (x+1)+ (1- x)
=2- x2≤2． …14分
（Ⅱ）证明二：g（1）=f（1）≤1，g（－1）=f（－1）≤1．
当c=0时，a=f（1）+f(－1) ≤[f（1）+f(－1) ]≤1．--------------------------------6分
∴当x∈[－1，1]时，g（x）=bx+c≤bx+a≤2.---------------------------------------------8分
当c≠0时，假设存在x∈[－1，1]，使g（x）＞2，则抛物线y = g（x）的顶点（x0，g（x0））满足
x0＜1且g（x0）＞2．
∵ g（x）= c（x－x0）2+ g（x0），且c=f(0)≤1，
∴ 若0≤ x0≤1，则(1－ x0)2 ≤1．
于是 g（x0）=g（1）－c（1－x0）2
≤ g（1）+c≤1+c≤２．
这与g（x0）＞2矛盾．------------------------------------------------------------------------11分
若－1≤ x0≤0，则(1+ x0)2≤1．
于是 g（x0）=g（－1）－c（1+x0）2
＜ g（－1）+c≤1+c≤２．
同样与g（x0）＞2矛盾．
于是证得g（x）≤2．-----------------------------------------------------------------------------14分
（Ⅲ）解：由
∴ f(x)=ax2+(2－a)x－1
∵ 当x∈[－1，1]时，f（x）≤1，
∴ f(－1)≤1，即2a－3≤1，解得 1≤a≤2.
考虑实数
=—
．
∵ 1≤a≤2，∴ —≤—≤0，即∈[－1，1]．
依题意有 
，
整理得 
．
注意到a＞0，
≥0，+1≥1，
∴ =0，即a=2.