高考数学模拟试题7
第Ⅰ卷（选择题 共60分 ）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.非空集合A，B存在关系A
B，I是全集，下列集合为空集的是
（ ）
A． A
B B．
C．
D．
2．一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别为12，15，20，则长方体的对角线长为
A．
B．
C．6 D．8（ ）
3. 已知数列
它的前n项的积大于105，则正整数n 的最小值
是 （ ）
A．12 B．11 C．10 D．8
4．已知
如果
，则m的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5. 函数
在同一单调区间内的
处取最大值
，在
处取最小值
，则函数的解析式为 （ ） A．
B． 
C．
D．
6．已知过球面上三点A、B、C的截面与球心的距离等于球的半径的一半，若AB=BC=AC=2，则球的体积为 （ ）
A．
B．
C．
D．
7. 从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种工作，甲、乙两名志愿者都不从事翻译工作，则选派方案共有 （ ）
A．280 B．240 C．180 D．96
8．函数y=cos x , x∈[0, π]的图像与直线x=0, y= - 1所组成的封闭图形，绕x轴旋转一周所得的几何体的体积为 （ ）
A．π3 B．π C．0.5π3 D．0.5π2
9．在100件产品中，有60件正品，40件次品，从中有放回地抽取3次，每次抽取1件，那么恰有2次抽到正品的概率是 （ ）
A．0.024 B．0.144 C．0.236 D．0.432
10．已知复数z满足arg (3z -
)=
, ôz+1ô=
, 则arg z
= (
)
A．argtan2 B．π-
argtan2 C．π- argtan D．argtan
11．直线l：x+2y-3=0与圆C：x2+y2+x-6y+m=0有两个交点A、B，O为坐标原点，若
, 则m的值是
( )
A．2
B．3
C．-1
D．
12．李老师从银行贷款1万元用于购买电脑，贷款月利率为1%，按复利计算（即本月利息计入下月本金），若从贷款后次月初开始归还，分10个月等额分期付款，10次还清，每次应还（精确到1元） （ ）
A．1056元 B．1100元 C．1105元 D．1167元
第Ⅱ卷（选择题 共90分）
二、 填空题：本大题共4个小题，每小题4分，满分16分。
13．求值：
=
14．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是 （用数字作答）
15． 已知二项式
(1+2x) n 的展开式中各项系数之和为a n ,其二项式系数和为b n , 则
的值是
。
16．有下列命题：① 
成等比数列的充分但非必要条件； ②
若角
满足
则
； ③ 若不等式
的解集非空，则必有
④ 函数
的值域是[-2，2]。其中错误的命题的序号是
（把错误的命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共6个小题，共74分；解答应写出文字说明、演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知函数
和定义在R上的奇函数
，当
，有
求的反函数。
18．（本小题满分12分）
某人有5把钥匙，其中只有1把能打开房门，但忘记了是哪一把，只好逐把试开，求下列各事件的概率：
（1）第一次就打开房门；
（2）前三次打开房门.
19．（本小题满分12分）
如图，已知三棱柱
的底面是边长为2的正三角形，侧棱
与AB，AC均成45°角，且
于E，
于F.
（I） 求证：平面
平面
；
（Ⅱ）求点A到平面的距离；
（Ⅲ）当
多长时，点
到平面ABC与平面的距离相等？
20．（本小题满分12分）
随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员
人（140<<420，且
为偶数），每人每年可创利
万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利
万元，但公司需付下岗职员每人每年
万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的
，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
21．（本小题满分12分）
已知
且
、
、 
……
组成等差数列（n为正偶数），又
，
。
①求数列的通项；
②比较
与3的大小；
③求
的单调区间和极值。
22．（本小题满分14分）
已知圆C：x2 +
y2 = 4, A(
, 0)是圆内一点。Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交OQ于P，当点Q在圆C上运动一周时，点P的轨迹为曲线E，
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）过点O作倾斜角为θ的直线与曲线E
交于B1、B2两点，当θ在范围
内变化时，
求ΔAB1B2的面积S(θ) 的最大值。
高考数学模拟试题7答案
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | D | B | B | C | A | B | B | C | B | D | D | C |
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．
（13）4 （14）1.2 （15）1 （16）③
三、解答题：本大题共6小题；共74分．
17. 解：∵是
上的奇函数
∴
……………………………………………………………………2分
当
时，有
，则
………………………………………………6分
∴
…………………………………………………8分
分别求各段上的反函数，得
.………………………………………12分
18．解:
设{第k次打开}＝AK（k＝1，2，3，4，5）
（1）P（A1）＝
……………………………………………………………4分
（2）设{前三次打开}＝A，则A＝A1＋
A2＋
A3………………6分
A1，， A2，，A3彼此相互独立，A1，A2， A3彼此互斥，故 P（A）＝P（A1＋A2＋A3）
＝P（A1）＋P（）P（
）＋P（）P（）P（A3）……8分
＝
………………………………………12分
|
于 F，
∵
∥
，∴
……………………1分
又
.∴
所以，平面
………………………………3分
（Ⅱ）因为
，
又
∴
≌
，∴
∴
，∴EF=
∴
∴
为等腰直角三角形……………………………………………5分
取EF的中点N，连
，则
，
所以
……………………………………………6分
所以为点
到平面
的距离。
又
，所以点到平面的距离为1. …………………8分
（Ⅲ）设BC，
的中点分别为D，
连AD，
和
，则N∈
∵∥
∥
，∴A，，D，四点共面，∴AD∥
∴
为平行四边形， ……………………………………………………9分
∵
∴
∴
∴
∴
………………………………………………10分
作
，
若
，
则
≌
，于是
即当
时，点到平面ABC和平面的距离相等.……………12分
20．解:设裁员
人，可获得的经济效益为
万元,则
………………………………………………3分
=
……………………………………………5分
令
，得
依题意 
≥
∴0<≤
又140<<420 ∴70<<210
(1)当0<
≤,即70<≤140时
取到最大值…………………………………………………8分
(2)当>,即140<<210时
取到最大值…………………………………………………10分
综上所述，当70<≤140时，应裁员人；
当140<<210时，应裁员人.……………………………12分
21. 解：（1）
…………………………………………………1分
……..3分
,
………………………………………4分
（2）
（3）
n=3时 
………9分
令
| （ | -1 |
|
| （ | |
|
| + | 0 | - | 0 | + |
|
|
|
|
|
|
|
单增区间是
单减区间是[-1，-15] ………………………………………………………… 11分
极大值为
， 极小值为
…………………………………………………12分
22. 解：（Ⅰ）∵P在AQ的垂直平分线上，又在半径OQ上，
∴ ∣PQ∣=∣PA∣且∣OP∣+∣PA∣=∣OQ∣=2，……………………2分
故P点的轨迹是以O、A为焦点，长轴长为2，中心在（
，0）的椭圆：
……………………………………………………4分
（Ⅱ）法一：设∣OB1∣=x,则∣AB1∣=2–x，在ΔOAB1中，由余弦定理得
∣AB1∣2 =∣OB1∣2+∣OA∣2 - 2∣OB1∣•∣OA∣cosθ,……………………6分
(2-x)2=x2+3-2x•cosθ,
解得 
，……………………………………………………7分
同理可得
.
…………………………………………………8分
S(θ) = 
当且仅当
∴
…………………………………………14分
法二：设过点O倾斜角为
的直线方程为
。
由已知列方程组：
将（1）带入（2）化简得：
……………..8分
S(θ) =
当且仅当
∴…………………………………………14分