高考数学普通高等学校招生全国统一考试4
数 学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．暂缺
2． 已知
（ ）
A．
B．－ C．
D．－
3．圆锥曲线
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．等差数列
中，已知
，则n为 （ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
5．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．设函数
若
，则x0的取值范围是 （ ）
A．（－1，1） B．（－1，+∞）
C．（－∞，－2）∪（0，+∞） D．（－∞，－1）∪（1，+∞）
7．函数
的最大值为 （ ）
A．
B．
C．
D．2
8．已知圆
的弦长为
时，则a= （ ）
A． B．
C． D．
9．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．函数
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2，P3和P4（入射角等于反射角）. 设P4的坐标为（x4，0），若
，
则
的取值范围是 （ ）
A．（
，1） B．
C．
D．
12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）
A．3π B．4π C．
D．6π
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上
13．不等式
的解集是
14．
展开式中
的系数是
15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2，
拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可
以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂
|
16．如图，一个地区分为5个行政区域，
现给地图着色，要求相邻区域不得
使用同一颜色，现有4种颜色可
供选择，则不同的着色方法共有
种.（以数字作答）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
|
（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；
（2）求点D1到面BDE的距离.
18．（本小题满分12分）
已知复数z的辐角为60°，且
是
和
的等比中项. 求.
19．（暂缺）
20．（本小题满分12分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南
方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城
市开始受到台风的侵袭？
21．（本小题满分14分）
|
在矩形ABCD中，AB=4，BC=4
，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且
，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
22．（本小题满分14分）
设
为常数，且
（1）证明对任意
；
（2）假设对任意
有
，求的取值范围.
普通高等学校招生全国统一考试4
数学试题参考答案
一、选择题：
1.D 2.D 3.C 4.C 5.B 6.D 7.A 8.C 9.B 10.D 11.C 12.A
二、填空题：
13．
14． 
15．S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=2S△BCD
|
（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，
∵F为BD1中点， ∴FM∥D1D且FM=
D1D
又EC=CC1，且EC⊥MC，
∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1
又CM⊥面DBD1 ∴EF⊥面DBD1
∵BD1
面DBD1，
∴EF⊥BD1 故EF为BD1与CC1的公垂线.
（II）解：连结ED1，有
由（I）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的
距离为d，
则S△DBC·d=S△DBD
·EF.………………9分
∵AA1=2·AB=1.
故点D1到平面BDE的距离为
.
18． 解：设
，则复数
由题设
19．暂缺
20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.
在时刻：（1）台风中心P（
）的坐标为
此时台风侵袭的区域是
其中
若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有
即
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.
按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设
由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直线OF的方程为：
①
直线GE的方程为：
②
从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程
整理得
当
时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.
当
时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长。
当
时，点P到椭圆两个焦点（
的距离之和为定值。
当
时，点P 到椭圆两个焦点（0，
的距离之和为定值2.
22．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.
（1）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=1－2a0，等式成立；
（ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，则
那么
也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立.
证法二：如果设
用
代入，可解出
.
所以
是公比为－2，首项为
的等比数列.
即
（2）解法一：由通项公式 
等价于 
……①
（i）当n=2k－1，k=1，2，…时，①式即为 
即为 
……②
②式对k=1，2，…都成立，有 
（ii）当n=2k，k=1，2，…时，①式即为 
即为 
……③
③式对k=1，2，…都成立，有
综上，①式对任意n∈N*，成立，有
故a0的取值范围为
解法二：如果（n∈N*）成立，特别取n=1，2有 
因此 
下面证明当时，对任意n∈N*，
由an的通项公式 
（i）当n=2k－1，k=1，2…时， 
（ii）当n=2k，k=1，2…时，
故a0的取值范围为