高三第二次调研测试数学
一、选择题（每小题5分，共60分）
（1）设
，则
=（ ）
（A）{0} （B）{2}
（C）
（D）
（2）（理）下列说法正确的是（ ）
（A）离散型随机变量
的期望E反映了取值的概率的平均值
（B）离散型随机变量的方差D反映了取值的平均值
（C）离散型随机变量的期望E反映了取值的平均值
（D）离散型随机变量的方差D反映了取值的概率的平均值
（文）要完成下列2项调查：
①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；
②从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况。
就采用的抽样方法是（ ）
（A）①用随机抽样法 ②用系统抽样法
（B）①用分层抽样法 ②用随机抽样法
（C）①用系统抽样法 ②用分层抽样法
（D）①、②都用分层抽样法
（3）设
，则
的值等于（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）无穷等比数列
中，
记
，则
等于（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）已知xy<0且x+y=2，而
按x的降幂排列的展开式中，第三项不大于第四项，那么x的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）给出下面的3个命题：
（1）函数
的最小正周期是
；
（2）函数在区间
上单调递增；
（3）
是函数
的图象的一条对称轴。
其中正确命题的个数是（ ）
（A）0 （B）1
（C）2 （D）3
（7）以椭圆
的右焦点为圆心，且与双曲线
的渐近线相切的圆的方程是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）已知直线l⊥平面
，直线
，有下面四个命题：
①
；
②
③
④
。
其中正确的两个命题是（ ）
（A）①与② （B）①与③
（C）②与④ （D）③与④
（9）抛物线
与直线
交于两点A、B，其中点A的坐标是（1，2）。设抛物线的焦点为F，则FA+FB等于（ ）
（A）7
（B）
（C）6 （D）5
（10）三棱柱
中，P、Q分别为侧棱
上的点，且
，则四棱锥
与三棱柱的体积之比是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）（理）某商场开展促销奖活动，摇奖器摇出的一组中奖号码是6，5，2，9，0，4。参加抽奖的每位顾客从0，1…，9这十个号码中抽出六个组成一组。如果顾客抽出的方个号码中至少有5个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，某位顾客可能获奖的概率为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（文）曲线
在
点处的切线平行于直线
，则点的坐标为（ ）
（A）（1，0） （B）（2，8）
（C）（1，0）或（-1，-4） （D）（2，8）或（-1，-4）
（12）已知
，b为常数）的图象经过点（2，1），则
的值域为（ ）
（A）[2，5]
（B）
（C）[2，10] （D）[2，13]
二、填空题（每小题4分，共16分）
（13）在条件
下，
的最大值是______________。
（14）（理）已知复数
，复数
的辐角主值为____________。
（文）已知
，若
，则
的值是__________________。
（15）正方形ABCD中，E、分别是AB、CD的中点，沿EF将正方形折成60°的二面角，则异面直线BF与DE所成角余弦值是___________________。
（16）给出下列四个命题：
①函数
与函数
的定义域相同；
②函数
与
的值域相同；
③函数
都是奇函数；
④函数
与
在区间
上都是增函数。
其中正确命题的序号是___________________。（把你认为正确的命题序号都填上）。
三、解答题：（共74分）
（17）（12分）
（理）如图，求由两条曲线
及直线
所围成图形的面积。
（文）甲、乙、丙三位同学独立完成6道数学自测题，他们答及格的概率依次为
。
求（Ⅰ）三人中有且只有2人答及格的概率；
（Ⅱ）三人中至少有一人不及格的概率。
（18）（12分）
将函数
的图象向右平移4个单位，再向上平移2个单位，可得到函数g(x)的图象。
（Ⅰ）写出g(x)的解析式；
（Ⅱ）解关于x的不等式
。
（19）（12分）
已知数列的前n项和为
，且满足
。
（Ⅰ）求证：
是等差数列；
（Ⅱ）求
的表达式；
（Ⅲ）若
，
求证：
。
（20）（12分）
已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=a，
，M、N分别是AD、PB的中点。
（Ⅰ）求证：平面MNC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求点A到平面MNC的距离。
（21）（12分）
某公司欲将一批不易存放的水果从A地运往B地，有汽车、火车、直升飞机等运输工具可供选择，三种运输工具的主要参考数据如下：
| 运输工具 | 速度（千米/时） | 途中费用（元/千米） | 装卸时间（小时） | 装卸费用（元） |
| 汽车 | 50 | 8 | 2 | 1000 |
| 火车 | 100 | 4 | 4 | 2000 |
| 飞机 | 200 | 16 | 2 | 1000 |
若这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为300元/时，问采用哪一种运输工具较好（即运输过程中费用与损耗之和最小）？
（22）（14分）
（理）已知椭圆
，直线l过点A（-a,0）和点B（a,ta）（t>0）交椭圆于M。直线MO交椭圆于N。
（Ⅰ）用a,t表示
的面积S；
（Ⅱ）若
，a为定值，求S的最大值。
（文）已知椭圆C的焦点是
，点
到相应的准线的距离为
，过
点且倾斜角为锐角的直线l与椭圆C交于A、B两点，使得
。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求直线l的方程。
答案
一、选择题（5分×12=60分）
1.A 2.（理）C（文）B 3.D 4.D 5.C
6.C 7.A 8.B 9.A 10.B
11.（理）D（文）C 12.C
二、填空题（4分×4=16分）
13．5
14.（理）
（文）λ=－1或λ=3
15. 
16.（1）（3）
三、解答题（共74分）
17．解：（理）由对称性，所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的2倍…2分
由
得C（1，－1）
同理得D（2，－1）……5分
∴所求图形的面积
……8分
……12分
（文）设甲、乙、丙答题及格分别为事件A、B、C，则事件A、B、C相互独立………………2分
（I）三人中有且只有2人答及格的概率为
………………………………7分
（II）三人中至少有一人不及格的概率为P2=1－P(ABC)=1－P(A)P(B)P(C)=
12分
18．解：（I）依题意，
……………………4分
（II）不等式
…6分
…10分
………………11分 ∴
时，不等式解集为
………………12分
19．（I）证明：
……1分
……2分 又
是以2为首项，2为公差的等差数列……4分
（II）解：由（1）
……5分 当n≥2时，
（或n≥2时，
）
当n=1时，
………………7分 
………………8分
（III）由（2）知，
………………………………9分
…………………10分
…………11分 
…………………………12分
20．解：（I）连PM、MB ∵PD⊥平面ABCD ∴PD⊥MD…1分
∴PM=BM 又PN=NB ∴MN⊥PB………………………3分
得NC⊥PB∴PB⊥平面MNC……5分 
平面PBC
∴平面MNC⊥平面PBC……6分
（II）取BC中点E，连AE，则AE//MC∴AE//平面MNC，
A点与E点到平面MNC的距离相等…7分
取NC中点F，连EF，则EF平行且等于
BN ∵BN⊥平面MNC ∴EF⊥平面MNC，EF长为E
点到平面MNC的距离……9分 ∵PD⊥平面ABCD，BC⊥DC ∴BC⊥PC.
即点A到平面MNC的距离为
……12分
21．解：设A、B两地的距离为S千米，分别用F1、F2、F3表示汽车、火车、飞机运输时的总支出…1分
则有F1=8S+1000+300
=14S+1600（元） F2=4S+2000+300
=7S+3200（元）
F3=16S+1000+300
=17.5S+1600（元）……7分 ∵S＞0，∴F1＜F3 由F1－F2=7S－1600
∴当0＜S＜
千米时F1＜F2，F1最小，采用汽车运输较好；………………………………10分
当
千米时F2＜F1＜F3，采用火车运输较好；
当S=
千米时，采用汽车与火车运输的费用一样，但比飞机运输费用少.……………………12分
22．解（理）（I）易得l的方程为
…1分 由
，得（a2t2+4）y2－4aty=0…2分
解得y=0或
即点M的纵坐标
………………4分
S=S△AMN=2S△AOM=OA·yM=
…7分 （2）由（1）得，
令
…………9分 由
当
时，
…10分 若1≤a≤2，则
，故当
时，Smax=a11分
若a＞2，则
在[1，2]上递增，进而S(t)为减函数. ∴当t=1时,
13分
综上可得
…………14分
（文）（I）依题意，椭圆中心为O（0，0），
……1分
点F1到相应准线的距离为
，
a2=b2+c2=1+3=4…………………………3分
∴所求椭圆方程为
…………………………4分
（II）设椭圆的右准线
与l交于点P，作AM⊥，AN⊥，垂足
分别为M、N. 由椭圆第二定义，得
同理BF2=eBN……6分
由Rt△PAM～Rt△PBN，得
…9分
的斜率
.………………12分
∴直线l的方程
……………………………………14分