抛物线的概念、性质、几何意义

高　三　数　学（第17周）

【教学内容】

　　抛物线的概念、性质、几何意义及其直线与抛物线的位置关系、抛物线的应用等。

【教学目标】

　　1、掌握抛物线的定义，动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，则动点的轨迹是抛物线。熟练掌握顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线的四种标准形式：y²=2px、y²=－2px、x²=2py、x²=－2py（p＞0）及其它们的焦点坐标、对称轴方程。

　　2、焦参数p（p＞0）的几何意义为抛物线的焦点到其准线的距离。若已知了抛物线顶点在顶点，焦点在x轴上，则可设抛物线的方程为y²=2ax（a≠0）；若抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，则可设抛物线的方程为x²=2ay（a≠0），再由另外一个条件就可以求出抛物线标准方程了。若顶点在原点，焦点在坐标上，则就要分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况来设抛物线的方程。

　　3、抛物线标准方程中，判别焦点在哪个轴上的方法是看方程的一次项，若一次项的变量为x，则焦点在x轴上；若一次项的变量为y，则焦点在y轴上。另外，对于抛物线y²=2ax（a≠0），焦点坐标为（，0），准线方程为；对于抛物线x²=2ay（a≠0）焦点坐标为（0，），准线方程为。这一结论对a＞0及a＜0均成立。

　　4、在抛物线中，抛物线上的动点到焦点的距离我们常常转化为动点到准线的距离来处理，这一思想方法在抛物线中有着广泛的应用。我们在学习时要引起重视。

【知识讲解】

　　例1、求经过定点A（－3，2）的抛物线的坐标准方程。

　　解：抛物线过第二象限内的点A（－3，2），应考虑开口向上及向左两种情形。

　　（1）若开口向左，设抛物线方程为y²=－2px，因为抛物线过点A（－3，2），∴2²=－2p(－3)即，则抛物线方程为。

　　（2）若开口向上，设其方程为x²=2py，因为抛物线过点A（－3，2），∴，即，故得抛物线方程为。

　　综上所述，抛物线的方程为或。

　　说明：由于题设条件无法确定焦点和准线的位置，因此无法确定抛物线的类型，可根据所给点的位置，考虑过这点的抛物线有几种类型来求解。

　　例2、如图，动圆M与定直线y=2相切，且与定圆相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。

　　解：设动圆圆心M（x，y）动圆半径为r，过点M作MN垂直于直线y=2，N为垂足，则有

，动点M到定点C的距离等于它到直线y=2的距离加上1，∴动点M到定点C（0，－3）的距离等于它到定直线y=3的距离，由抛物线的定义可知，动点M的轨迹方程是以C（0，－3）为焦点，直线y=3为准线的抛物线方程，即x²=－12y。

　　例3、已知抛物线y²=2px(p＞0)的内接三角形的一个顶点为原点，垂心与抛物线的焦点重合，求此三角形的外接圆的方程。

　　解：设△OAB为抛物线y²=2px的内接三角形，∵垂心在焦点F上，∴OF⊥AB，即AB垂直于x轴，垂足为C，且由抛物线的对称性可知，AC=BC，设AB所在直线的方程为x=a，∴A、B两点的坐标分别为（，）（，）∵BF⊥AO，∴∴，∴。

∵所求三角形外接圆过原点，∴圆方程中不含常数项，又因为圆心在AB的中垂线上，即圆心在x轴上，故可设所求圆的方程为x²＋y²＋Dx=0，点

A（，）在圆上，代入得：，所以△AOB的外接圆的方程为：

。

　　例4、求与直线相切，且过点A（2，0），圆心在直线4x－5y－12=0上的圆的方程。

　　解：因为圆心到定点A（2，0）的距离等于它到直线x=－2的距离，由抛物线的定义可知，圆心必在抛物线y²=8x上，又已知圆心在直线4x－5y－12=0上，解方程组　

得　　　　或　

　　　　  设圆的半径为r，

当时，

当时，，所以，所求圆的方程为或。

　　例5、抛物线以y轴为准线，且过点M（a，b）（a≠0），证明：不论M点在坐标平面内的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹的离心率是定值。

　　解：设抛物线的焦点F的坐标为（x₀，y₀），根据抛物线的定义可知，点M（a，b）到点F（x₀，y₀）的距离等于点M到y轴的距离，则①又设抛物线焦点A的坐标为（x，y），∵A为线段OF的中点，则x₀=2x，y₀=2y,代入①得，即抛物线的顶点的轨迹方程为：，∵a≠0，∴抛物线顶点的轨迹是椭圆，其中长半轴长为a，短半轴长为，则半焦距，所以它的离心率为定值。

　　说明：若已知了圆锥曲线的准线方程、离心率及圆锥曲线上的一点的坐标，要求与准线对应的焦点或顶点的轨迹方程时，我们通常是先假设出与准线对应的焦点的坐标，然后由圆锥曲线的第二定义求出该焦点的轨迹方程。若还要求对应顶点的轨迹时，我们仍可以把顶点看成是圆锥曲线上的点，再由第二定义可以找出顶点的坐标与焦点的坐标间的关系，然后再把焦点的坐标代入焦点轨迹方程即可，如椭圆中：求经过点M（1，2），以y轴为准线，离心率等于的椭圆的左顶点的轨迹方程。该题就可以用上述方法，先求出左焦点轨迹方程，找出左顶点坐标及左焦点坐标间的关系，最后求出左顶点的轨迹方程为：。

　　例6、抛物线y²=8x的焦点为F，A（4，－2）为一定点，在抛物线上找一点M，使MA＋MF为最小，求M点的坐标。

　　解：如图所示，A（4，－2）在抛物线y²=8x的内部，过点A作准线的垂线，E为垂足，交抛物线于M点，则M点即为所求，其坐标为（，－2），现在证明MA+MF为最小，在抛物线y²=8x上取一点M＇，作M＇E＇⊥准线于E＇，根据抛物线定义，MF=ME，M＇F=M＇E＇，MA＋MF=AE，M＇A＋M＇F=M＇A＋M＇E＇而AE＜M＇F＋M＇E＇∴MA＋MF最少。

  注意：在与抛物线有关的计算或证明中，我们要不失时机地运用其定义，这样可以使计算或证明来得简捷方便。

　　例7、过抛物线y²=4px（p＞0）的顶点O引互相垂直的两弦OA、OB，试求原点O在AB上的射影M的轨迹。

　　解：设OA的方程为y=kx，则OB的方程为，将它们分别代入y²=4px中，解方程组可以求得A（，）、（，），于是AB的斜率，又OM⊥AB，则，因此AB的方程为①直线OM的方程为②

由于M（x，y）为AB与OM的交点，故方程组①、②即为动点M的参数方程，k为参数。

现由①②消去k，由①×②得，，③由②知，，设k²－1=yt，k=xt，代入③得：，所以，即，其轨迹为以（2p，0）为圆心，2p为半径的圆。

　　例8、过点（－1，－6）的直线l与抛物线y²=4x相交于A、B两点，（1）求直线l斜率k范围，（2）若p（，0），又△ABP为等腰三角形，其中，求k的值。

　　解：（1）显然，l与x轴不垂直，令，（k≠0）则，∴，（*）△=16＋16k(6－k)＞0即k²－6k－1＜0，而方程k²－6k－1=0的两k为∴。

（2）设A(x₁，y₁)、B（x₂，y₂），AB中点Q（x₀，y₀），由方程（*）得：，

∴，∵PQ⊥AB，∴，∴，k=2或（舍去），所以k=2。

　　例9、已知直线，圆，抛物线T：y=(x－1)²，又L与M交于点A、B；L与T交于点C、D，求。

　　解：由　

　　　　 

 ∴即

，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）∴，

，又，其中k为直线l的斜率，所以，同理可得：，∴

　　例10、过定点p(0，－2)的直线交抛物线y²=4x于A、B两点，求以OA、OB为邻边的平行四边形的另一顶点Q的轨迹方程。

　　解：显然，直线AB的斜率一定存在，设，即y=kx－2，代入y²=4x得：

k²x²－4(k＋1)x＋4=0（*）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）则M（，），∴Q（x₁＋x₂，y₁＋y₂）。在方程（*）中，，，令Q（x，y）则

 ①

 ②由②得代入①得，即：

，又在方程（*）中，∴,又k≠0∴，∴，∴，即另一顶点Q轨迹方程为，其中。

　　例11、如图，设有一动直线l，过定点A（2，0）且与抛物线y=x²＋2相交于不同两点B和C，点B、C在x轴上的射影分别是B＇和C＇，P是线段BC上的点，且适合关系式，求△POA重心Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？

　　分析：Q点的位置取决于P点，P是动线段BC的一个分点，P点的位置随动线段BC位置的变化而变化，而BC的位置取决于动直线l的斜率，因此可设动直线l的方程为y=k(x－2)即可。

　　解：设、、、设动直线，解方程组　　

　　　　　　　　　　　　  　 消去y，整个得x²－kx＋2k＋2=0，△=k²－8k－8＞0，∴或，∵

∴

，∴ 又，∴，这就是P点的轨迹方程。∵且，又或，∴且

∵　　　　　　　　 ∴　　

　　　　  　　　　　　　

代入中，得 其中且

∴轨迹为直线介于间的一段，且除去点（，4）。

【一周一练】

　　一、选择题

　　1、顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且过点（－2，3）的抛物线的方程是　　　　（　　）

　　A. 　　　　　　　　　　　　 B.

　　C. 或　　　　　 D. 或

　　2、抛物线y=4x²的准线方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （　　）

　  A. x=－1　　　B. y=－1　　　　 C. 　　　 D.

　  3、过点M（2，4）作直线l，与抛物线y²=8x只有一个公共点，这样的直线的条数是（　　）

　  A. 1　　　　　　 B. 2　　　　　　 C. 3　　　　　 　　 D. 0

　　4、过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A₁、B₁，则＜A₁FB₁等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （　　）

　　A.45°　　　　　 B. 60°　　 C. 90°　　　　　  D. 120°

　  5、一抛物线形拱桥，高水面离拱顶2米时，水面宽4米，若水面下降1米后，则水面宽为

　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　A. 米　　　　B. 2米　　　　  C. 4.5米　　　　　D. 9米

　　6、设抛物线y=ax²（a＞0）与直线y=kx＋b（k≠0）有两个交点，其横坐标分别为x₁、x₂，而直线y=kx＋b与x轴的交点横坐标为x₃，则x₁、x₂、x₃的关系为　　　　　　  （　　）

　　A. 　　　　　　　　　 B.

　　C. 　　　　　　　　 D.

　　二、填空题

　　7、以椭圆的中心为顶点，短轴端点为焦点的抛物线方程为 ______________。

　　8、过抛物线y²=4(x＋1)的焦点作倾斜角为α的直线，交抛物线于A、B两点，已知，则α= _______________。

　　9、一个正三角形的三个顶点都在抛物线y²=4x上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积为 __________。

　　10、抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x－y＋2=0上，则抛物线的方程是 __________________________________。

　　11、直线y=kx－2和抛物线y²=8x交于A、B两点，如果AB中点的横坐标为2，则k的值是 ____。

　　12、直线ax＋y=4与抛物线y²=2px的一个交点为（1，2），则抛物线的焦点到这条直线的距离为 _______________。

　　三、解答题

　　13、钢索桥下垂形似抛物线，跨度为80m，两端与地面相距是20m，顶点离地面6m，以过顶点的水平线为x轴，过顶点的铅垂线为y轴，求钢索桥所在曲线的方程。

　　14、正方形ABCD的顶点A、B在抛物线y=x²上，C、D在直线y=x－4上，求正方形的边长。

　　15、设抛物线y=x²＋mx＋2与以（0，1）、（2，3）为端点的线段总有两个交点，求m的取值范围。

　　16、过点p（0，4）作圆x²＋y²=4的切线l，l与抛物线y²=2px（p＞0）交于两点A、B，若OA⊥OB，求p的值。

　　17、抛物线y²=4x与圆心在C（6，0）的圆相交A、B位于x轴上方的两个交点，问当圆C的半径为何值时，过线段AB的中点及抛物线焦点F的直线的倾斜角为45°。

　　18、已知抛物线C的准线为，对称轴上有一点坐标为（6，2），C与直线相交于所得弦长为，求抛物线方程。

　　19、是否存在同时满足下列条件中的抛物线，（1）准线为y轴（2）顶点在x轴上（3）点A（3，0）到抛物线上动点p的距离的最小值为2。若存在，求出它的方程，若不存在，请说明理由。

　　20、已知圆M：x²＋y²－4x=0及一条抛物线，抛物线顶点在原点，焦点是M的圆心F，过F作倾斜角为α的直线l，l与抛物线及圆自上而下交于A、B、C、D四点，

　　（1）若，求

　　（2）为何值时，有最小值？并求出这个最小值。

【一周一练答案】

　　一、选择题

　　1、C　　 2、D　　 3、B　　 4、C　　 5、B　　 6、B

　　二、填空题

　　7、　　  8、60°或120°　　9、　　　 10、或

　　11、2　　　　　　 12、

　　三、解答题

　　13、　 14、或　　15、

　　16、　　 17、　　 18、

　　19、三条：，，

　　20、（1）

　　 （2）当时，的最小值为4。