高中毕业班第一次诊断性检测题数学卷
参考公式：三角函数的积化和差公式
sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]
cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)] sinαsinβ＝－[sin(α＋β)－sin(α－β)]
第一卷(选择题，共60分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分；在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在机读卡的指定位置.
1. 中心在原点，准线方程为x＝±4，离心率为的椭圆方程为
A.x2＋＝1 B.＋y2＝1 C.＝1 D.＝1
2. 设P、Q是两个非空集合，定义P*Q＝{(a，b)a∈P，b∈Q}，若P＝{0，1，2}，Q＝{1，2，3，4}，则P*Q中元素的个数是
A.4个 B.7个 C.12个 D.16个
3. 下列各组向量中，共线的是
A.＝(－2，3)，＝(4，6) B.＝(2，3)，＝(3，2)
C.＝(1，－2)，＝(7，14) D.＝(－3，2)，＝(6，－4)
4. 已知一个简单多面体的每一个面都是三角形，以每一个顶点为一端都有5条棱，则此多面体的棱数为
A.30 B.32 C.20 D.18
5. 若3个平面将空间分成n个部分，则n的值为
A.4 B.4或6 C.4或6或7 D.4或6或7或8
6. 若a＝2＋i，则1－C的值为
A.－28 B.28 C.(3－i)16 D.(3＋i)16
7. 设函数f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数，若f(1)＞1，f(2)＝，则
A.a＜ B.a＜且a≠－1 C.a＞或a＜－1 D.1＜a＜
8. 如果p是q的充分条件，r是q的必要条件，那么
A.￢pÞ￢r B.￢pÜ￢r C.￢pó￢r D.pór
9. 已知等差数列{an}的首项a1＝120,d＝－4,记Sn＝a1＋a2＋……＋an，若Sn≤an(n＞1)，则n的最小值为
A.60 B.62 C.63 D.70
10. 已知log
x1＝logax2＝log(a＋1)x3＞0，0＜a＜1，则x1、x2、x3的大小关系是
A.x3＜x2＜x1 B.x2＜x1＜x2 C.x1＜x2＜x3 D.x2＜x3＜x1
11. 将函数y＝f(x)sinx的图象向右平移个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到y＝1－2sin2x的图象，则f(x)可以是
A.cosx B.2cosx C.sinx D.2sinx
12. 若，则2x＋y的取值范围是
A.(2，6) B.(1，3) C.[2，6] D.[1，3]
第二卷(非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上
13. 若函数f(x)＝的图象关于直线y＝x对称，则实数a＝______________.
14.
把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1，空气温度是θ0，t分钟后温度θ可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e
求得，现有60ºC的物体放在15ºC的空气中冷却，当物体温度为35ºC时，冷却时间t＝_______________.
15. 在△MON的边OM上有5个异于O点的点，在ON上有4个异于O点的点，以这10个点(含O点)为顶点，可以得到的三角形的个数为_________________.
16. 某校有小学12个班，初中24个班，高中30个班，共66个班，现要从中选取11个班进行某项调查，为充分反映该校的情况，那么应从小学、初中、高中三个学段分别抽取_______个班来进行调查.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答要求写出文字说明、证明过程或推演步骤
17. (12分)已知tan2θ＝－2，π＜2θ＜2π，求.
18.
已知向量及实数x、y，且＝1，，＝－y＋x，若⊥，⊥，且≤.
(1)求y关于x的函数关系y＝f(x)及定义域；
(2)求函数f(x)的单调区间.
19.
(12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a(a＞0)，BB1＝3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点.
(1)求直线BE与A1C所成的角θ；
(2)在线段AA1上取一点F，问AF为何值时，CF⊥平面B1DF？
20.
(12分)袋中装有m个红球和n个白球，m≥n≥2，这些红球和白球除了颜色不同以外，其余都相同.从袋中同时取出2个球.
(1)若取出是2个红球的概率等于取出的是一红一白的2个球的概率的整数倍，试证m必为奇数；
(2)在m，n的数组中，若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，试求失和m＋n≤40的所有数组(m，n).
21. (12分)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3,S9,S8成等差数列，S16－S6,S10,xS5成等比数列，求x的值.
22.
(14分)已知动点P与双曲线x2－y2＝1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为－.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若直线l:y＝x＋m与P点的轨迹交于不同的两点A、B，且AB＝,M(0,－1),求M到直线l的距离.
高中毕业班第一次诊断性检测题
数学(理科)参考答案
一、选择题
1. D
2. C
3. D
4. A
5. D
6. B
7. D
8. B
9. D
10. D
11. B
12. C
二、填空题
13. －2
14. 2
15. 90
16. 2，4，5
三、解答题
17. 原式＝ ……2'
＝
＝ ……5'
由tan2θ＝
解得tanθ＝－或tanθ＝ ……9'
∵π＜2θ＜2π，∴＜θ＜π
∴tanθ＝－ ……11'
∴原式＝＝3＋2 ……12'
18.
|
∴2＝＝2＋2(x2－3)·＋(x2－3)22
＝x4－6x2＋10 ……2'
∵≤，∴x4－6x2＋10≤10
∴－ ……3'
又∵⊥，∴·＝0
∴·＝－y2＋(x2＋x－3)·＋x(x2－3)2＝0
∴－y＋x3－3x＝0 ……5'
∴y＝f(x)＝x3－3x x∈[－] ……6'
(2)∵y＝x3－3x，∴y'＝3x2－3
令y'＝0，得x＝±1……8'
列表如右： ……10'
函数f(x)在[－，－1]和[1，]上递增，在[－1，1]上递减 ……12'
19. 
(1)以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系 1'
∵AC＝2a，∠ABC＝90º
∴AB＝BC＝a
从而B(0，0，0)，A(a，0，0)，C(0，a，0)
A1(a，0，3a)，B1(0，0，3a)，C1(0，a，3a)
D(，3a)，E(0，)
∴) 3'
而
4'
∴cosθ＝
∴θ＝arctan ……6'
(2)设AF＝x，则F( a，0，x) ……7'
＋x×0＝0
∴ ……10'
要使得CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F
由＝2a2＋x(x－3a)＝0
有x＝a或x＝2a
故当AF＝a，或AF＝2a时，CF⊥平面B1DF ……12'
20. (1)设取出2个球是红球的概率是取出的球是一红一白2个球的概率的k倍(k为整数)
则有 ……3'
∴＝kmn Þ m＝2kn＋1 ……4'
∵k∈Z，n∈Z，∴m＝2kn＋1为奇数 ……5'
(2)由题意，有
∴＝mn
∴m2－m＋n2－n－2mn＝0
即(m－n)2＝m＋n
……① ……7'
∵m≥n≥2，所以m＋n≥4
∴4≤m＋n≤＜7 ……8'
∴m－n的取值只可能是2，3，4，5，6
相应的m＋n的取值分别是4，9，16，25，36
即或或或或
解得或或或或 ……11'
注意到m≥n≥2
∴(m，n)的数组值为(6，3)，(10，6)，(15，10)，(21，15) ……12'
21. 由已知q≠1
∴S3,S9,S8成等差数列，∴2S9＝S3＋S8
即2 ……① ……5'
又S16－S6,S10,xS5成等比数列
∴S102＝xS5(S16－S6)
即
∴(1－q10)2＝x(1－q5)(q6－q16)
∴1＋q5＝xq6
……② ……10'
有①②得x＝2 ……12'
22. (1)∵x2－y2＝1，∴c2＝1＋1＝2，c＝
设PF1＋PF2＝2a(常数a＞0)，由2a＞2c＝2，∴a＞ ……1'
由余弦定理有cos∠F1PF2＝
＝
＝－1 ……4'
∵PF1PF2≤()2＝a2
∴当且仅当PF1＝PF2时，PF1PF2取得最大值a2.
此时cos∠F1PF2取得最小值－1
由题意－1＝－，解得a2＝3 ……6'
∴P点的轨迹方程为＋y2＝1
……① ……7'
(2)把y＝x＋m代入＋y2＝1
整理得：4x2＋6mx＋3(m2－1)＝0
……(*) ……8'
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1＋x2＝－m，x1x2＝
∴AB2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝2(x1－x2)2
＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2[(－m)2－4·]
＝6－m2 ……11'
令6－m2＝3，得m＝± ……12'
当直线l的方程为由y＝x＋时，点M到l的距离为d1＝
当直线l的方程为由y＝x－时，点M到l的距离为d1＝
……14'
限于篇幅，其他方法不再一一列出，请评卷老师根据答卷情况相应给分
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