高中毕业班第一次诊断性数学检测题

高中毕业班第一次诊断性数学检测题

数学(理科)

参考公式：三角函数的积化和差公式
sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]　　  cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]
cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]　　 sinαsinβ＝－[sin(α＋β)－sin(α－β)]

第一卷(选择题，共60分)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分；在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在机读卡的指定位置.

1.　　　 已知双曲线的离心率为，则它的两条渐近线的夹角为
A.30º　　　　　　 B.45º　　　　　　　 C.60º　　　　　　　 D.90º

2.　　　 设P、Q是两个非空集合，定义P*Q＝{(a，b)a∈P，b∈Q}，若P＝{0，1，2}，Q＝{1，2，3，4}，则P*Q中元素的个数是
A.4个　　　　　　B.7个　　　　　　　C.12个　　　　　　 D.16个

3.　　　 下列各组向量中，共线的是
A.＝(－2，3)，＝(4，6)　　　　　　B.＝(2，3)，＝(3，2)
C.＝(1，－2)，＝(7，14)　　　　　 D.＝(－3，2)，＝(6，－4)

4.　　　 已知一个简单多面体的每一个面都是三角形，以每一个顶点为一端都有5条棱，则此多面体的棱数为
A.30　　　　　　　B.32　　　　　　　　C.20　　　　　　　　D.18

5.　　　 若3个平面将空间分成n个部分，则n的值为
A.4　　　　　　　 B.4或6　　　　　　 C.4或6或7　　　　 D.4或6或7或8

6.　　　 若a＝2＋i，则1－C的值为
A.－2⁸　　　　　　B.2⁸　　　　　　　　C.(3－i)¹⁶　　　　　 D.(3＋i)¹⁶

7.　　　 设函数f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数，若f(1)＞1，f(2)＝，则
A.a＜　　　　　　B.a＜且a≠－1　　 C.a＞或a＜－1　　 D.1＜a＜

8.　　　 已知真命题：“a≥b Þ c＞d”和“a＜b ó e≤f”，那么“c≤d”是“e≤f”的
A.充分不必要条件　B.必要不充分条件　　C.充要条件　　　D.既不充分也不必要条件

9.　　　 n→∞C\o(n,\s\up5(1＝
A.0　　　　　　　 B.－　　　　　　　 C.1　　　　　　　　 D.

10.　　已知logx₁＝log_ax₂＝log_(a＋1)x₃＞0，0＜a＜1，则x₁、x₂、x₃的大小关系是
A.x₃＜x₂＜x₁　　　 B.x₂＜x₁＜x₂　　　　 C.x₁＜x₂＜x₃　　　　 D.x₂＜x₃＜x₁

11.　　将函数y＝f(x)sinx的图象向右平移个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到y＝1－2sin²x的图象，则f(x)可以是
A.cosx　　　　　　B.2cosx　　　　　　 C.sinx　　　　　　　 D.2sinx

12.　　设曲线y＝和曲线y＝在它们交点处的两切线的夹角为θ，则tanθ＝
A.1　　　　　　　 B.　　　　　　　　 C.　　　　　　　　 D.

第二卷(非选择题，共90分)

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上

13.　  若函数f(x)＝的图象关于直线y＝x对称，则实数a＝______________.

14.　  把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ₁，空气温度是θ₀，t分钟后温度θ可由公式θ＝θ₀＋(θ₁－θ₀)e求得，现有60ºC的物体放在15ºC的空气中冷却，当物体温度为35ºC时，冷却时间t＝_______________.

15.　  在△MON的边OM上有5个异于O点的点，在ON上有4个异于O点的点，以这10个点(含O点)为顶点，可以得到的三角形的个数为_________________.

16.　  某保险公司新开设了一项保险业务，规定该份保单在一年内如果事件E发生，则该公司要赔偿a元，假若在一年内E发生的概率为p，为使公司受益的期望值等于a的，公司应要求该份保单的顾客缴纳的保险金为_________________元.

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答要求写出文字说明、证明过程或推演步骤

17.　  (12分)已知tan2θ＝－2，π＜2θ＜2π，求.

18.　  已知向量及实数x、y，且＝1，，＝－y＋x，若⊥，⊥，且≤.
(1)求y关于x的函数关系y＝f(x)及定义域；
(2)求函数f(x)的单调区间.

19.　  (12分)如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a(a＞0)，BB₁＝3a，D为A₁C₁的中点，E为B₁C的中点.
(1)求直线BE与A₁C所成的角θ；
(2)在线段AA₁上取一点F，问AF为何值时，CF⊥平面B₁DF？

20.　  (12分)袋中装有m个红球和n个白球，m≥n≥2，这些红球和白球除了颜色不同以外，其余都相同.从袋中同时取出2个球.
(1)若取出是2个红球的概率等于取出的是一红一白的2个球的概率的整数倍，试证m必为奇数；
(2)在m，n的数组中，若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，试求失和m＋n≤40的所有数组(m，n).

21.　  (12分)已知等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n，是否存在常数c，使数列{S_n＋c}也成等比数列？若存在，求出c的值；若不存在，说明理由.

22.　  (14分)已知动点P与双曲线x²－y²＝1的两个焦点F₁，F₂的距离之和为定值，且cos∠F₁PF₂的最小值为－.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设M(0，－1)，若斜率为k(k≠0)的直线l与P点的轨迹交于不同的两点A、B，试求k的取值范围，使MA＝MB.

高中毕业班第一次诊断性检测题

数学(理科)参考答案

一、选择题

1.　　　 D

2.　　　 C

3.　　　 D

4.　　　 A

5.　　　 D

6.　　　 B

7.　　　 D

8.　　　 A

9.　　　 D

10.　  D

11.　  B

12.　  C

二、填空题

13.　  －2

14.　  2

15.　  90

16.　 

三、解答题

17.　　原式＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……2'
　　＝
　　＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……5'
由tan2θ＝
解得tanθ＝－或tanθ＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……9'
∵π＜2θ＜2π，∴＜θ＜π
∴tanθ＝－　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……11'
∴原式＝＝3＋2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……12'

18.　　

x [－，－1] [－1，1] [1，] y' ＋ － ＋ y k m k

(1)∵⊥，∴·＝0，且＝＋(x²－3)
∴²＝＝²＋2(x²－3)·＋(x²－3)²²
　　　＝x⁴－6x²＋10　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……2'
∵≤，∴x⁴－6x²＋10≤10
∴－　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……3'
又∵⊥，∴·＝0
∴·＝－y²＋(x²＋x－3)·＋x(x²－3)²＝0
∴－y＋x³－3x＝0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……5'
∴y＝f(x)＝x³－3x  x∈[－]　　　　　　　　　　　　　　　　……6'
(2)∵y＝x³－3x，∴y'＝3x²－3
令y'＝0，得x＝±1……8'
列表如右：　　　 ……10'

函数f(x)在[－，－1]和[1，]上递增，在[－1，1]上递减　　　　 ……12'

19.　　(1)以B点为原点，BA、BC、BB₁分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系　1'
∵AC＝2a，∠ABC＝90º
∴AB＝BC＝a
从而B(0，0，0)，A(a，0，0)，C(0，a，0)
A₁(a，0，3a)，B₁(0，0，3a)，C₁(0，a，3a)
D(，3a)，E(0，)
∴)　 3'
而　  4'
∴cosθ＝
∴θ＝arctan　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6'
(2)设AF＝x，则F( a，0，x)　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……7'

＋x×0＝0
∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……10'
要使得CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F
由＝2a²＋x(x－3a)＝0
有x＝a或x＝2a
故当AF＝a，或AF＝2a时，CF⊥平面B₁DF　　　　　　　　　　　　 ……12'

20.　　(1)设取出2个球是红球的概率是取出的球是一红一白2个球的概率的k倍(k为整数)
则有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……3'
∴＝kmn　Þ　m＝2kn＋1　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4'
∵k∈Z，n∈Z，∴m＝2kn＋1为奇数　　　　　　　　　　　　　　　　……5'
(2)由题意，有
∴＝mn
∴m²－m＋n²－n－2mn＝0
即(m－n)²＝m＋n　　　　　　 ……①　　　　　　　　　　　　　　 ……7'
∵m≥n≥2，所以m＋n≥4
∴4≤m＋n≤＜7　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……8'
∴m－n的取值只可能是2，3，4，5，6
相应的m＋n的取值分别是4，9，16，25，36
即或或或或
解得或或或或　　　　　　　　　　　 ……11'
注意到m≥n≥2
∴(m，n)的数组值为(6，3)，(10，6)，(15，10)，(21，15)　　　　　 ……12'

21.　　设存在常数c，使数列{S_n＋c}也成等比数列
则(S_n＋c)(S_n＋2＋c)＝(S_n＋1＋c)²　　　　　　　　　　　　　　　　　　……3'
∴S_nS_n＋2－S＝c(2S_n＋1－S_n－S_n＋2)　　　　　　　 ……①　　　　　　……5'
(1)当q＝1时，S_n＝na₁，S_n＋1＝(n＋1)a₁，S_n＋2＝(n＋2)a₁，代入①得
a₁²n(n＋2)－a₁²(n＋1)²＝ca₁[2(n＋1)－n－(n＋2)]
推得a₁＝0，这与等比数列中a_n≠0矛盾.
故q＝1时，不存在　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……8'
(2)当q≠1时，S_n＝，代入①得
]
化简得－a₁²qⁿ＝ca₁qⁿ(1－q)
∴c＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……11'
∴q≠1时，存在c＝使数列{S_n＋c}也成等比数列　　　　　　　　　……12'

22.　　(1)∵x²－y²＝1，∴c²＝1＋1＝2，c＝
设PF₁＋PF₂＝2a(常数a＞0)，由2a＞2c＝2，∴a＞　　　　　……1'
由余弦定理有cos∠F₁PF₂＝
　　　  　　　　　　　＝
　　　　　　　　　　  ＝－1　　　　　　　　　　　　　……4'
∵PF₁PF₂≤()²＝a²
∴当且仅当PF₁＝PF₂时，PF₁PF₂取得最大值a².
此时cos∠F₁PF₂取得最小值－1
由题意－1＝－，解得a²＝3　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6'
∴P点的轨迹方程为＋y²＝1　　　　　　　　 ……①　　　　　　　 ……7'
(2)设l：y＝kx＋m(k≠0)　　　　　　　　　  ……②
与①联立得
②代入①得：(1＋3k²)x²＋6kmx＋3(m²－1)＝0　　……(*)　　　　　　……8'
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则AB中点Q(x₀，y₀)的坐标满足
x₀＝
即Q(－)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……9'
∵MA＝MB，∴M在AB的中垂线上
∴k_lk_AB＝k·＝－1
解得m＝　　　　　　　　　　　　　　　　 ……③　　　　　 ……10'
又由(*)由两个实数根，知△＞0，即
(6km)²－4(1＋3k²)[3(m²－1)]＝12(1＋3k²－m²)＞0　 ……④　　　　 ……12'
将③代入④得
12[1＋3k²－()²]＞0
解得－1＜k＜1，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……13'
由k≠0，∴k的取值范围是k∈(－1，0)∪(0，1)　　　　　　　　　　 ……14'

限于篇幅，其他方法不再一一列出，请评卷老师根据答卷情况相应给分

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