高中数学青年教师解题比赛试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．全卷共5页，
满分为150分．考试时间120分钟．
第I卷（选择题共60分）
参考公式：
三角函数和差化积公式 正棱台、圆台的侧面积公式
其中
、
分别表示
上、下底面周长，l表示斜高或母线长
台体的体积公式：
其中
、
分别表示上、下底面积，h表示高
| 题号 | 一 | 二 | 三 | 总 分 | |||||
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | ||||
| 分数 | |||||||||
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填下表中.
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 |
（1）常数T满足
和
,则T的一个值是（ ）．
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）在等差数列
中，
,则
的值为（ ）．
（A）24 （B）22 （C）20 （D）
（3）设点P对应复数是
,以原点为极点，实轴的正半轴为极轴，建立极坐
标系，则点P的极坐标为（ ）．
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）设A、B是两个非空集合，若规定：
,则
等于（ ）．
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）函数
的图象与直线
的交点个数为（ ）．
（A）0 （B）1 （C）2 （D）0或1
（6）设函数
（其中
）,则
是
为
奇函数的（ ）．
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）如图，在斜三棱柱
中，∠BAC＝90°，
，过
作
底面ABC，垂足为
，则（ ）．
（A）在直线AC上 （B）在直线AB上
（C）在直线BC上 （D）在△ABC内
（8）电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超
过3分钟，以后每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟以1分钟收费.则通话收S（元）与通话时间t（分钟）的函数图象可表示为（ ）．
（A） （B） （C） （D）
（9）以椭圆
的右焦点为圆心，且与双曲线
的渐近线相
切的圆的方程为（ ）．
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）已知
的展开式中所有项系数之和为729，则这个展开式中含
项
的系数是（ ）．
（A）56 （B）80 （C）160 （D）180
（11）AB是过圆锥曲线焦点F的弦，l是与点F对应的准线，则以弦AB为直
径的圆与直线l的位置关系（ ）．
（A）相切 （B）相交 （C）相离 （D）由离心率e决定
（12）定义在R上的函数
的反函数为
，则是（ ）．
（A）奇函数 （B）偶函数
（C）非奇非偶函数 （D）满足题设的函数不存在
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横
线上．
（13）函数
的反函数是
．
（14）已知抛物线的焦点坐标为
，准线方程为
,则其顶点坐标为
．
（15）如图，在棱长都相等的四面体A—BCD中，
E、F分别为棱AD、BC的中点，则直线
AF、CE所成角的余弦值为 ．
（16）甲、乙、丙、丁、戊共5人参加某项技术比赛，决出了第1名到第5名
的名次. 甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你
和乙都没拿冠军”，对乙说：“你当然不是最差的.”请从这个回答分析，
5人的名次排列共可能有 种不同情况（用数字作答）.
三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤．
（17）（本小题满分10分）
已知复数
，其中A、C为△ABC的内角，且三个内角
满足2B＝A﹢C.试求
的取值范围.
（18）（本小题满分12分）
已知曲线C上的任一点M
（其中
）,到点
的距离减去它到
y轴的距离的差是2，过点A的一条直线与曲线C交于P、Q两点，通过点P和坐标原点的直线交直线
于N.
（I）求曲线C的方程；
（II）求证：NQ平行于x轴.
（19）（本小题满分12分）
是否存在一个等差数列,使对任意的自然数n，都有
…
.
（20）（本小题满分12分）
如图，△ABC是一个遮阳棚，点A、B是地面上
南北方向的两定点，正西方向射出的太阳（用点
O表示）光线OCD与地面成锐角
.
（I）遮阳棚与地面成多少度的二面角时，
才能使遮影△ABD面积最大？
（II）当AC＝3，BC＝4，AB＝5，＝30°时，试求出遮影△ABD的最
大面积.
（21）（本小题满分14分）
甲、乙、丙三种食物维生素A、B含量及成本如下表：
| 项 目 | 甲 | 乙 | 丙 |
| 维生素A（单位/千克） | 600 | 700 | 400 |
| 维生素B（单位/千克） | 800 | 400 | 500 |
| 成本（元/千克） | 11 | 9 | 4 |
某食物营养研究所想用x千克甲种食物、y千克乙种食物、z千克丙种食物
配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A和63000
单位维生素B.试用x、y表示混合物的成本M（元）；并确定x、y、z的值，
使成本最低.
（22）（本小题满分14分）
定义在
上的函数 满足：①对任意
、
,都有
；
②当
时，有
.
证明：（I）函数在上的图象关于原点对称；
（II）函数在
上是单调减函数；
（III）
.
高中数学青年教师解题比赛试卷
参考答案
一、选择题：
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | C | A | B | B | D | C | B | C | A | C | D | D |
二、填空题：（13）
（14）
（15）
（16）54
三、解答题：
（17）（本小题满分10分）
解：由△ABC的内角关系
，
又
则
由
从而
为所求.
（18）（本小题满分12分）
（I）解：由题设知：曲线C上任意一点M到定点
距离等于它到直线
的距离.由抛物线定义知：
曲线C的方程为
…
（注：若不限制，抛物线C还可为
,即x轴负半轴）
（II）证明：①当过点A的直线PQ不与x轴垂直时，斜率
存在，
设PQ方程为
由
|
又直线OP方程为
而点N在直线OP上，也在直线上
|
故NO// x轴
②当过点A的直线PQ与x轴垂直时，结论显然成立
（19）（本小题满分12分）
解：若存在一个等差数列满足题设，则
时，有
；
时，有
；
时，有
.
∴猜想存在这样的一个数列的通项为
以下用数学归纳法证明：
（1）当时， 
满足
（2）假设
满足题设，
即
成立
当
时 , 
即
则也成立.
综上（1）、（2）知对
都有
成立.
|
|
（I）解：设H为点O在地面的射影，
连结HD交AB于E.
|
则
，且OH⊥平面ABD
|
平面ABD
|
|
在△ABD中，要使面积最大，只须DE最大
而△CDE中，由正弦定理
.（目标函数中
均为定值）
所以，当∠DCE＝90°时
最大，则DE最大，
从而
时，遮影△ABD面积最大.
（II）解：当AC＝3，BC＝4，AB＝5，＝30°时，
为所求.
（21）（本小题满分14分）
（I）依题设知：
又
代入上式
|
为所求.
|
将
分别代入①、②得：
此时
当且仅当
即
时取等号
答：当
千克，
千克，
千克成本最低为850元.
（22）（本小题满分14分）
|
证明：（I）由条件①可取
则
再取
则
在
上图象关于原点对称
（II）令
由于
.
|
且
及
则由（1）（2）得
由条件②知
,从而
，故在上单调递减函数.
（III）由奇函数的对称性知：在
上仍是减函数，且
※
对
|
则有
.
由※式知：
时有
故.