高三数学综合测试题—（4）

高中学生学科素质训练

　

高三数学综合测试题—（4）

　　本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设10件产品中有4件不合格，从中任取两件，已知所取的2件产品中有1件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　D．

2．设函数　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　

　　　 C．　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　D．

3．已知直线平行，则实数a的值是（　　）

　　　 A．-1或2　　　　　　　　B．0或1　　　　　　　　　C．-1　　　　　　　　　　　 D．2

4．当的图象只可能是图中的　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　　　D．

5．(x—1)¹¹的展开式中x的系数最小的项是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．第5项　　　　　　　　B．第6项　　　　　　　　C．第7项　　　　　　　　D．第8项

6．正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AA₁与CC₁的中点，则直线ED与D₁F所成角的大小是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　　　　　　D．

7．已知下列命题：

　　　 ①若直线∥平面，直线，则a∥b;

　　　 ②若直线a∥平面, 平面内的射影为∥b;

　　　 ③若直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，则直线a∥直线b

　　　 ④若α、β、、δ是不同的平面，且满足

　　　 其中正确命题的个数有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．0个　　　　　　　　　　B．1个　　　　　　　　　　C．2个　　　　　　　　　　D．3个

8．若复数z₁=2-a+ai与复数z₂=b-1+(1-b)i(a,b∈R)满足z₁=z₂且，则a,b的值分别是　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．1，2　　　　　　　　　 B．2，1　　　　　　　　　 C．1，0　　　　　　　　　 D．0，1

9．集合当AB时，则　　　 （　　）

　　　 A．a>3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．1≤a<3　　　　　　　

　　　 C．a>9或a<3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．3<a<9

10．直线l:y=kx+1与双曲线C:x²—y²=1的左支仅有一个公共点, 则k的取值范围是　（　　）

　　　 A．k=1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．-1<k≤1　　　　　　　

　　　 C．-1<k≤1或k=　　　　　　　　　　　　　　　D．-1<k≤1或≤k<2

11．函数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．偶函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．既是奇函数又是偶函数

　　　 C．奇函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不是奇函数也不是偶函数

12．在一张节目表中有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去3个节目，则不同的添加方法有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．210种　　　　　　　　B．252种　　　　　　　　 C．504种　　　　　　　　D．505种

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，共16分，把答案填在题中横线上）

13．方程log₂(9—2^x)=3—x的解集是　　　　　 .

14．点M在抛物线y²=ax上运动，点N与点M关于点A（1，1）对称，则点N的轨迹方程是　　　　　 .

15．已知等比数列{a_n}的前3项分别是，其中a∈R，则（a₁+a₂+…+a_n）=　　　　　 .

16．将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成120°的二面角，已知直角边，那么二面角A—BC—D的正切值为　　　　　 .

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

设随机变量的概率密度函数为,(1)求系数A；（2）求F（x）=P（ξ<x）的表达式并作出它的图象.

18．（本小题满分12分）

设

（Ⅰ）求z的三角形式；

（Ⅱ）当0≤a≤3时，求的取值范围；

（Ⅲ）当时，求的取值范围.

19．如图，（本题满分12分）

已知：直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=AC，D为BC中点，F为BB₁上一点，且BF=BC=2，FB₁=1.

（Ⅰ）求证：AD⊥平面BB₁C₁C；

（Ⅱ）若E为AD上不同于A、D的任一点，求证：EF⊥FC₁；

（Ⅲ）若A₁B₁=3，求FC₁与平面AA₁B₁B所成角的大小；

（Ⅳ）在（Ⅲ）的条件下，求点C₁在A₁B₁上的射影到平面A₁FC₁的距离.

20．（本题满分12分）

　　　 带有若干枚炸弹的轰炸机向敌方某铁路干线的枢纽部位投弹，若炸弹落到铁路两旁40米以内，铁路交通被破坏，若飞机在准确投弹的情况下，落弹点与铁路的距离ξ的概率密度函数为：，为了使敌方的铁路交通受到破坏的概率不低于0.95，轰炸机至少应投下多少颗炸弹？

21．（本题满分12分）

已知椭圆中心在坐标原点O，一条准线的方程x=1，过随圆的左焦点F，且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点

（Ⅰ）设M为线段AB的中点，直线AB与OM的夹角为=2时，求椭圆的方程；

（Ⅱ）当A，B两点分别位于第一、三象限时，求椭圆短轴长的取值范围.

22．（本题满分14分）

已知组成等差数列(n为正偶数)，又

（Ⅰ）求数列的公差d；

（Ⅱ）试比较与3的大小，并说明理由.

高三数学综合测试题参考答案

（四）

一、选择题1．A　2．B　3．C　4．D　5．B　 6．A　7．B　8．A　9．A　10．C　11．D　12．C　

二、填空题13．　　　　14．　　　　15．9　

16．.

三、解答题

17．（1）

①当②当

③

18．（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）实部为1，虚部为a-1.

19．如右图，（Ⅰ）∵AB=AC且D为BC中点，∴AD⊥BC，又

∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴平面ABC⊥平面BB₁C₁C，

∴AD⊥平面BB₁C₁C.（Ⅱ）连结DF，DC₁，由已知可求得

即DF⊥FC₁，由三垂线定理，∴EF⊥FC₁.

（Ⅲ）作C₁G⊥A₁B₁于G，∵平面C₁A₁B₁⊥平面AA₁B₁B，∴C₁G⊥平面AA₁B₁（B）连结FG，∴∠C₁FG为所求角.在Rt△ABD中，易求得

（Ⅳ）由（Ⅲ）知G为C₁在A₁B₁上射影，作B₁H⊥A₁C₁于H，连结FH，

设h为G到平面A₁FC₁的距离.

20．一颗炸弹落在铁路两旁40米以内的概率为：∴一颗炸弹落到40米以外的概率为设投n颗炸弹能使破坏概率不低于0.99, ∴

即0.36ⁿ≤0.01,∵0.36⁴=0.016,0.36⁵=0.00601,∴n≥5.

21．（Ⅰ）设椭圆方程为

又AB与OM夹角α满足*∵中心在原点，一条准线为x=1，

（Ⅱ）∵直线l过左焦点F（—c,0）,∴l在y轴上截距为c，当A，B分别在第一、三象限时，c<b,∴c²<b².

又b²=a²=c²,由（Ⅰ）知a²=c,可见b²最大为（当时）

∴椭圆短轴长的范围是（0,1）

22．（Ⅰ）

（Ⅱ）

由（Ⅰ）结论可知

①

①式两边同乘以得：②

①—②得：

即