高三统一考试数学卷
数 学 试 题（理工农医类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 正棱锥、圆锥的侧面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么
其中
表示底面周长，
表示斜高或母线长
P（A·B）=P（A）·P（B） 球体的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那 
么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有且只有一项是符合题目要求的.
1．若U是全集，A是U的一个真子集，则下列结论中错误的是 （ ）
|
|
B．
C． U
D． U 
Φ
|
的分布列为
，则
为 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．双曲线
的一条准线方程是
，则
应等于 （ ）
A．－4 B．－2 C．－
D．－
4．一次测量中出现正误差和负误差的概率都是，在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．等比数列{
}的首项
，前
项和为
，若
，则
等于 （ ）
A．
B．－2 C．2 D．－
6．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=A1D1=1，AB=2，E为AB的中点，则C1到平面D1DE的距离为 （ ）
A．
B．1 C．
D．
7．若函数
在区间[
]上单调递增，则函数
可以是（ ）
A．
B．－ C．1 D．
8．在
四个函数中，当
时，使
成立的函数有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．编号1，2，3，4，5，6的六个球分别放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，其中有且只有三个球的编号与盒子的编号一致的放法种数有 （ ）
A．20 B．40 C．120 D．480
10．若以
上任一点P为圆心作与直线相切的圆，那么这些圆必定过平面内的点 （ ）
A．（0，1） B．（－1，0） C．（0，－1） D．（－1，－1）
11．已知
是两条直线，
是两个平面，有下列4个命题：
①若
，则
②若
，则
③若
则
④若异面， 
,则
.
其中正确命题有 （ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
|
图象如图甲，则
在区间[0，
]上大致图象是（ ）
|
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上.
13．不等式
的解集为
.
14．某工厂一个班组共有5个男工，3个女工，现要选3个代表去先进单位参观学习，则3个代表中至少有一个女工的概率是 .
|
满足
且
，则
的最小值为
.
16．如图，一球形广告气球被一束入射角为30°
的平行光线照射，其投影是一个长半轴为
5 米的椭圆，则制作这个广告气球至少需
要的面料是
米2（取3.2）
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，∠A、∠B、∠C对边分别为
、
、，已知
，且最长边为
.
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）求△ABC最短边的长.
注意：考生在（18甲）、（18乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（18甲）计分.
18．（本小题满分12分）
（甲）如图建立直角坐标系，已知正方体ABCD—
的棱长为，M是棱
的中点，点O是对角线
的中点.
|
和的公垂线；
（Ⅱ）求异面直线MO和
所成的角的大小.
18（本小题满分12分）
（乙）如图矩形ABCD中，AB=2BC，E为CD的中点．将矩形沿AE折成二面角D1—AE—B，使BD1=CD1．
|
（Ⅱ）求异面直线AE与CD1所成的角．
19．（本小题满分12分）
已知公差大于零的等差数列
的前项和为
，且满足：
（Ⅰ）求通项；
（Ⅱ）若数列
是等差数列，且
，求非零常数；
（Ⅲ）求
的最大值.
20．（本小题满分12分）
某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成. 每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置. 现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置. 设加工G型装置的工人有
人，他们加工完G型装置所需时间为，其余工人加工完H型装置所需时间为
（单位：小时，可不为整数）.
（Ⅰ）写出
解析式；
（Ⅱ）比较与的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间
的解析式；
（Ⅲ）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？
21．（本小题满分12分）
已知
的面积为S，且
建立如右图所示的直角坐标系.
（Ⅰ）若
，求向量
所在直线方程；
|
若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，求当
取得最小值时，椭圆的方程.
22．（本小题满分14分）
已知平面向量
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）若存在不为零的实数
，，使得
且
，试求函数的表达式；
（Ⅲ）当
时，是否存在不小于2的常数，使有最大值12？若存在，求出值；若不存在，说明理由.
高 三 统 一 考 试
数 学 试 题（理工）参考答案及评分标准
一、选择题：本题考查基本知识的基本运算，每小题5分，满分60分.
DCCAD AABBC BD
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.
13．[－2，1] 14．
15．
16． 240
三、解答题：本大题共6小题，共74分.
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
……3分 在△ABC中，
则
……6分
（Ⅱ）由题意知，∠C对边最短，∠A对边最长. 
又
C为锐角，
……9分
由正弦定理，得
即△ABC最短边的长为1.……12分
18．（甲）（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：
……4分
∴OM是异面直线和
的公垂线.……8分
|
∴异面直线OM和
所成的角为60°.……12分
18．（乙）（Ⅰ）证明：取AE中点F，BC中点G，连结D1F，FG，D1G.
由题意知，AD1=D1E，BD1=CD1，
∴D1F⊥AE，D1G⊥BC. FG⊥BC,∴BC⊥平面D1FG ,……3分 ∴BC⊥D1F， 又D1F⊥AE，AE与BC相交，∴D1F⊥平面ABC，∴平面AD1E⊥平面ABC.……5分
（Ⅱ）解：取AB中点H，连结CH，则CH//AE，∴ ∠D1CH即为AE与CD1所成的角. ……6分
连结D1H，CF，HF. ∵D1F⊥平面ABC,D1F⊥CF, D1F⊥FH. 设AB=
，∴△CEF中，
在Rt△D1CF中，
在Rt△D1FH中，
……10分
在△D1CH中，
∴所求角的大小是
.……12分
（注：也可先证CH⊥D1H）
19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）为等差数列，
又
=117，
是方程
的两实根.又公差
∴
∴
……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
……6分
是等差数列， 
即
舍去.） 故
……8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得
……9分
当且仅当
即
时取等号，
即
的最大值为
……12分
20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，需加工G型装置4000个，加工H型装置3000个，所用工人分别为人，
人. 
即
……3分
（Ⅱ）
……4分
当
；
当
……6分
……8分
（Ⅲ）完成总任务所用时间最少即求的最小值.
当
时，递减，
此时
当
时，递增，
此时
∴加工G型装置，H型装置的人数分别为86，130或87，129.……12分
21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设Q（
…2分
……4分
所在直线的方程为
或
……5分
（Ⅱ）设
又
……7分 令
在[2，+∞]上递增，
此时
取最小值，
……10分 由题意，设椭圆方程
则
解得
故椭圆方程
……12分
22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：
……2分
（Ⅱ）解：
而
…4分
即
……6分
（Ⅲ）若存在满足条件，则
由
当
时，
在[0，
]上递增；
当
时，
在[，+∞
上递减.……9分
①若
即
时，
不存在满足条件的值.……11分
②若
即
时，在[0，1]上递增，
满足条件.……12分
综上，当时，存在不小于2的常数
使的最大值12.……14分