高三统一考试数学试题（文史类）

高三统一考试数学试题（文史类）

　 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分。考试用时120分钟。

第I卷（选择题　 共40分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分；共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合M={yy=－2^－x}，P={yy=},则M∩P=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．{yy<0}　　　　　　　B．{yy≥1}　　　　　　 C．{yy≥0}　　　　　　 D．○

2．下列函数中，既是偶函数，又在（0，π）内单调递增的函数是　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．y=tanx　　　　　　　 B．y=cos(－x)　　　　　C．y=sin(x－)　　　D．y=cot

3．过点A（－2，0）和B（2，3）的直线l的倾斜角为α，则cosα=　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．－　　　　　　　　　D．－

4．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n若a₁>0, S₄=S₈，则S_n当取得最大值时，n的值为 （　　）

　　　 A．5　　　　　　　　　　　　B．6　　　　　　　　　　　　C．7　　　　　　　　　　　　D．8

5．已知A、B、C三点在一条直线上，且A（3，－6），B（－5，2），若点C的横坐标为6，

　 则点C的纵坐标为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．－13　　　　　　　　　 B．9　　　　　　　　　　　　C．－9　　　　　　　　　　 D．13

6．向量=（1，－2），向量与共线，且=4，则=　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．（－4，8）　　　 B．（－4，8）或（4，－8）C．（4，－8）　 D．（8，4）或（4，8）

7．设x>－1，则函数y=的最小值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．2　　　　　　　　　B．2+1　　　　　　　C．2－1　　　　　　 D．以上都不对

8．下列各组中，M是N的充要条件的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．M：x+y≤1，N：x²+y²≤1

　　　 B．M：实数a、b，a+b>2，且ab>1,N：a>1且b>1

　　　 C．M：集合E、F和P，PE且PF，N：PE∩F

　　　 D．M：－3≤t≤3，N：曲线y=（y≠0）与直线y=x+t有公共点

9．给出下列命题：

　　　 ①

　　　 ②把正方形ABCD平移向量到A′B′C′D′的轨迹形成的几何体叫做正方体；

　　　 ③=“从济南往正比平移3km”，=“从济南向正北平移6km”，则=2.

　　其中正确的命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．①②　　　　　　　　　 B．②③　　　　　　　　　 C．①②③　　　　　　　 D．①③

10．某商品的零售价2000年比1999年上涨25%，欲控制2001年比1999年只上涨10%，则2001年应比2000年降价　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．15%　　　　　　　　　 B．12%　　　　　　　　　　C．10%　　　　　　　　　 D．5%

11．已知图①中的图象对应的函数y=f(x)，则图②对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．y=f(x)　　　　　　　　 B．y=f(x)　　　　　　　 C．y=f(－x)　　　　　　D．y=－f(x)

12．若0<a<1,函数f(x)=log_ax，则下列各式中成立的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．f(2)>f()>f()　　　　　　　　　　　　　　　　 B．f()>f(2)>f()

　　　 C．f()>f()>f(2)　　　　　　　　　　　　　　　　 D．f()>f(2) >f()　　　　　　　　　　　　

第Ⅱ卷（非选择题　 共90分）

二、填空题：本大题共4小题.每小题4分；共16分.把答案填在题中横线上.

13．等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃=2, S₆=6.求a₁₀+a₁₁+a₁₂=　　　　　   .

14．已知x, y 满足x²+2x+y²=0, 则的最大值是　　　　　   .

15．已知集合A={x2≤x≤π},定义在A上的函数y=log_ax (a>1)的最大值比最小值大1，则a的值等于　　　　　   .

16．函数上是增函数，则实数a的取值范围是　　　　　   .

三、解答题：本大题共6小题.共74分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.

17. （本小题满分12分）

求函数y=sinx+cosx+1的最值及取得最值时相应x的值.

18．（本小题满分12分）

已知等差数列{a_n}中，a₄+a₇+a₁₀=17，a₄+a₅+a₆+…+a₁₄=77.

　 （1）求{ a_n}的公差d和a₁；

　 （2）若S_k=64，求k的值.

19．（本小题满分12分）

解关于x的不等式x－a<ax　 (0<a<1).

20．（本小题满分12分）

已知圆C：x²+y²=25及直线l：mx－y－2m+1=0（m∈R）.

　 （1）证明：无论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；

　 （2）求直线l被圆C截得弦长的最小值及此时 的直线方程.

21．（本小题满分12分）

　　设x , y ∈R，、为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量，若=x+（y+2），=x+(y－2) 且²+²=16.

　 （1）求点M（x, y ）的轨迹C 的方程；

　 （2）过定点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设，是否存在直线l使四边形OAPB为正方形？若存在，求出l的方程，若不存在说明理由.

22．（本小题满分14分）

　　已知函数

　　其中

　 （1）画出y=f(x)的图象；

　 （2）求y= f(x)的反函数；

　 （3）设y=g(x)与y= f(x)的图象关于x=－1对称，求y= g(x)的解析式，并写出y= g(x)的单调区间.

高三（文史类）数学参考答案及评分标准

一、1．D　2．C　3．A　 4．B　 5．C　 6．B　7．C　 8．D　9．D　10．B 11．C 12．C

二、13．16　　  14．11　15．　 16．a>－

三、17．解：由y=sinx +cosx +1

得y=sin(x+)+1……………………2分　∴y_max=+1………………4分

y_min=－+1……………………………6分　由x+=2kπ+

得x=2kπ+(k ∈Z)　 即x=2kπ+(k∈Z)时，y取最大值+1……………9分

由x+=2kπ－　即x=2kπ－时y取最小值1－……………………12分

18．解：∵3a₇=17， a₇= 　11a₉=77, a₉=7………………………………………………3分

……………………5分　…………………6分

　 （2）…………10分

　　　　k=12或k=－16（舍去）…………………………………………………………12分

19．解：原不等式等价于不等式组

①

②

……………3分　即　　　 …………………………6分

由①得……………………………………………9分

由②得

由0<a<1知……………………………………………………………10分

∴原不等式的解集为……………………………………12分

20．（1）证明：将直线方程整理　 (x－2)m－y+1=0　∴直线恒过定点（2，1）…………3分

而此点在圆内，所以直线mx－y－2m+1=0和圆x²+y²=25恒相交………6分

　 （2）解：当直线l垂直于圆心和点（2，1）连线时截得弦长最短

∴最短弦长=2……………………8分

此时直线方程为y－1=－2(x－2)…………………………10分

即2x+y－5=0………………………………………………12分

21．解：（1）由²+²=16得x²+y²=4…………………………4分

　 （2）假设直线l存在，显然l的斜率存在

　　　　设A（x₁,y₁） B(x₂, y₂)

　　　　由………………6分

　

∴若OAPB为正方形　只有即x₁x₂+y₁y₂=0

y₁y₂=(kx₁+3)(kx₂+3)=k²x₁x₂+3k(x₁+x₂)+9……………………8分

……10分

∴存在l且l的方程为y=x+3…………………………12分

22．解：（1）f(x)的大致图象如图…………………………4分

　 （2）当x∈[0，）时　 y=2(x－)²+1

即=（x－）²  ∵x∈[0，]

∴x－=－即x=－

此时1<y≤……………………6分

当x∈[，1]时　 y=－2x+2解得x=此时0≤y≤1……………………8分

∴函数f(x)的反函数……………………9分

（3）设函数g(x)图象上任一点（x, y）

　　 由点（x, y ）关于x=－1的对称点（－2－x, y）在y=f(x)上………………11分

　　 即

　　g(x)在[－3，－2]上为单调递增函数…………………………14分