高三数学第四次月考试卷
第I卷
一、选择题(每小题5分,共60分)
1. 在直角坐标系中，面积为8的Δ
在映射
的作用下的象集为Δ
，则Δ的面积等于
( )
（A）9
（B）
（C）6
（D）8
2. 已知A(－1, 0), B(1, 0)，动点P满足PA+PB=2，则点P的轨迹方程是 ( )
（A）x2+y2=1 （B）y=0
（C）y=0, x∈[－1, 1]
（D）
3. 函数
图象的一条对称轴方程是
，则直线
的倾斜角为
(Ａ) 
（B）
（C）
（D）
( )
4. 设D点在曲线
（
为参数）上，D点到直线4x-3y-2=0的距离为d，则d的范围为
（A）[0，1] （B）[1，2] （C）[0，2] （D）[1，3] （ ）
5. 抛物线y2=2px与直线ax+y－4=0交于两点A、B，其中点A的坐标是（1，2）.设抛物线的焦点为F，则FA+FB等于 （ ）
A．7 B．
C．6 D．5
6. 若双曲线的一个顶点到两条准线的距离和等于4，一个焦点到两条渐近线的距离和等于8，则双曲线的离心率是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
7.设椭圆ax2+by2=1的焦点在y轴上,且a,b∈{1,2,3,4,5,6},则这样的椭圆共有 ( )
A.
B. -6 C.
D. 
8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(
,0),直线y=x-1与其相交于A,B两点,AB中点的横坐标为-2,则此双曲线的方程是
( )
A.
B. 
C. 
D. 
9. 过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD，
若PA=AB，则面ABP和面CDP所成的二面角
的大小是（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
10. 已知直二面角
，直线
，直线
，且
与
不垂直，
与不垂直，那么（ ）
A．与可能垂直，但不可能平行
B．与可能垂直，也可能平行
C．与不可能垂直，不可能平行
D．与不可能垂直，但可能平行
11. 已知相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内，若p：l、m中至少有一条与β相交；q：α与β相交；则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．不充分也不必要条件
12. 正方体的直观图如右图所示，则其展开图是 （ ）
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.若直线
与抛物线
的两个交点都在第二象限,则
的取值范围是
．
14.如果正△ABC中,D∈AB,E∈AC,向量
,那么以B,C为焦点且过点D,E的双曲线的离心率是
.
15.将抛物线x2=2y按向量a=(-3,2)平移后恰与直线2x-y+6=0相切,则切点坐标为__________.
16. 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6cm2、4cm2和3cm2，那么它的外接球表面积是 。
三、解答题
17. (本小题满分12分)
已知过点P的直线l绕点P按逆时针方向旋转
角﹝0＜＜
＝，得直线为x－y－2 = 0，若继续按逆时针方向旋转
－角，得直线2x＋y－1 = 0，求直线l的方程。
18.(本小题12分)
某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千元.甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲产品所需工时分别为1时、2时，加工一件乙产品所需工时分别为2时、1时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.如何安排生产可使收入最大？
y
O
x
19. (本小题12分)
坐标平面内有三点A（-1，0），B（1，0），P(x , y),若满足
=a，
=b，且a·b=2.求
(I) 点P的轨迹方程;
(II)
求与的夹角θ的最大值.
20. (本小题12分)
在底面为等腰直角三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=A1A.
(I) 求AB1与BC1所成的角；
(II) 若点E为AB的中点，求CE与BC1所成的角；
(III) 求二面角A1－AB1－C1的大小.
21.(本小题12分)
坐标平面内,O为原点,A(4,-3)为⊿OAB的直角顶点.已知
,且点B的纵坐标大于零.
(1)
求向量
的坐标;
(2) 求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程;
(3) 若抛物线y=ax2-1上总有关于直线OB对称的两个点,求a的取值范围.
22.(本小题14分)
已知常数a>0,向量
.以
为方向向量且过原点O的直线记作l1,以
为方向向量且过定点A(a,0)的直线记作l2,
R, l1与l2相交于点P,试问:是否存在两个位于x轴上的定点E,F,使得
为定值?若存在,求出E,F的坐标;若不存在,说明理由.
高三数学第四次月考试卷参考答案与评分意见
一、选择题
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| D | C | A | C | A | C | C | C | B | D | C | D |
二、填空题
13.(-3,0) 14.
+1
15.(-1,4) 16.29π
三、解答题
17. 解：如图，直线l与直线2x+y-1=0垂直，
且P点就是已知两直线的交点 ……4分
由
得
∴P（1，-1）
……8分
∴直线l的方程为y+1=(x-1),
即x-2y-3=0. ……12分
18. 解： 设甲、乙两种产品的产量分别为x，y件，约束条件是
目标函数是
，要求出适当的x，y，
使取得最大值。
……6分
作出可行域，如图
|
 |
设
是参数，将它变形为
，这是斜率为
，随a变化的一族直线。当直线与可行域相交且截距
最大时，目标函数f取得最大值。
………8分
由
得
，……………………10分
因此，甲、乙两种产品的每月产品分别为200，100件时，可得最大收入800千元.…12分
19.解(I)由条件a =
=(-1-x,-y),b=
=(1-x,-y)，
……2分
∵ a·b=2,∴(-1-x) (1-x)+(-y)2=2 ……4分
整理得x2+y2=3即为所求的轨迹方程. ………6分
(II)在⊿ABP中，∠APB=θ，
由余弦定理得AB2=a2+b2-2abcosθ=a2+b2-2 a·b
∴a2+b2=8（定值） ………8分
………10分
∵0≤θ≤π∴0≤θ≤即θ的最大值为 ……12分
20. 解:（1）方法一：连结B1C交BC1于O，取AC中点D，连结OD可得∠BOD=90°，
AB1与BC1成90°角.
方法二：AB1在面BB1C1C上的射影是B1C，与BC1垂直，由三垂线定理得证.
方法三：补体成正方体亦可获证.
……4分
（2）取A1B1中点F，连结C1F、BF，可得∠BC1F=60°，
CE与BC1所成角60°. ……8分
（3）在平面A1B中作FH⊥AB1于H，连结C、H，
可证∠C1HF为二面角的平面角，
∠C1HF=60°. ……12分
21.解：（1）设=（u，v），则由
得
解之得
………………2分
，且点B的纵坐标
>0,∴
因此=(6,8).
…………4分
（2）由（1）知
=（10，5），∴直线OB的方程为y=x. ……………………5分
已知圆的标准方程为(x-3)2+(y+1)2=10,圆心(3,-1)关于直线OB的对称点为(a,b),则
由
解得
故所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10 ……………7分
(3)设P(x1,y1),Q(x2, y2)为抛物线y=ax2-1上关于直线OB对称的两点,则
即
……………8分
得
所以
……10分
x1,x2是方程x2+
x+
=0的两个相异实根,于是
Δ=
解得a>. ……………12分
22.解：∵∴=（a，λ），=（-2λa，1）……2分
因此直线l1的方程是ay=λx，l2的方程是-2λay=1·（x-a）. ……4分
消去参数λ,得点P(x,y)满足方程x2+2ay2-ax=0, ……6分
整理得
①
……8分
∵a>0,所以有
(ⅰ)当
时,方程①表示圆的方程,故不存在合乎题意的定点E,F;
(ⅱ)当a> 
时,方程①表示椭圆,E(
,0),F(
,0)为两个焦点,故E,F是合乎题意的两个定点;
(ⅲ)当0<a<时,方程①也表示椭圆,但焦点在直线x=上,不合乎题意. ……14分
（以上三种情况各2分）