第一学期高三数学期中考试卷1

第一学期高三数学期中考试卷1

一、选择题

1．在等差数列中，a₅=3, a_6­ =－2,则a₄+a₅+…+a₁₀的值为……….(　　　)

A.－49　　　　　 B.－48　　　　  C.－45　　　　 D.－42

2．函数y=sin(2x+)cos2x+sin2xcos(2x+)的最小正周期为……….(　　)

A.2　　　　　  B. 　　　　　C.　　　　　 D.

3.下列函数中,既是偶函数又在(0, )上单调递增的是…………..(　　  )

A. y=tan　　　 B. y=cos(－x)　　 C.y=sin(x－)　 D.y=cos(x+)

4.设集合A=,B=,则集合为(　 )

A.(1,3)　　　　　 B.[1,3]　　　　　 C.(－4,1)　　　  D.(3,4)

5.将函数y=的图象C向左平移一个单位后得到y=f(x)的图象C₁,若曲线C₁关于原点对称,那么实数a值为 ……………………………………………………………(　　　)

A.1　　　　　  B.0　　　　　　  C.－3　　　　　　  D.－1

6.在等比数列(　　　 )

A.　　　　　　 B.　　　　  C. 　　　　　　 D.

7.如果函数f(x)的图象经过点(0,1),函数f(x+4)有反函数,则f(x+4)的反函数图象必经过点……………………………………………………………………………………( 　　 )

A.(1,－4)　　　　 B.(－4,1)　　　　  C.(－1,－4)　　　　　　  D.(－4,－1)

8.若函数f(x)=b(1－,在(0,+)上有最大值8,则f(x)在(－,0)上有…………………………………………………………………………………(　　　)

A.最大值8　　　　B.最大值2　　 C.最小值－5　　 D.最小值－2

9.函数y=……………………………………….(　　　 )

A.[]　　　　　  B.[]　　　 C.[]　　　 D.[]

10.是正实数,函数f(x)=2sin(x)在[－]上递增,则………………………(　　　 )

A.0<≤　　　　B.0<≤2　　　　  C.0<≤　　　　D. ≥2

二.填空题

11. 已知函数f(x)是在R上的偶函数, 且满足f(x+1)+f(x)=1,当x∈［1,2］时, f(x)=2－x,　则f(－2003．5)=_____________________;

12.已知sin+cos=，且是三角形的内角,则tan=________________;

13.若1+3+5+…+(2n－1)=110·[],则正整数n=________;

14.tan(+)=－3,那么cos²+cossin+1=_________________;

15.设函数f(x)=x²－(a+3)x+3a (a∈R),若对于任何实数a, y=f(x)的图象都不经过点(2p,p²), 则实数p的值为________;

三.解答题

16.已知f(x)=sin(x+.

(1)求函数的最小正周期;

(2)若f(x)的最大值是1,求的值.

17.已知函数f(x)=

(1)求f(x)的反函数f^－1(x);

(2)求证:y=f^－1(x)的图象关于原点成中心对称图形.

18.数列中, ₁=8, ₄₌₂,且满足: _n+2－2_n+1+_n=0(n∈N^*).

(1)求数列的通项公式;

(2)设S_n=;

(3)设b_n=(n∈N­^*),T_n=b₁+b₂+…+b_n(n∈N^*).是否存在最大的整数m，使对任意n∈Ｎ^*都有T_n>总成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。

19．已知f(x)=(a,b为常数，且ab≠0)满足f(2)=1,且方程f(x)=x有唯一解。

（1）　　  求f(x)的表达式；

（2）　　  若数列x_n=f(x_n－1),且x₁>0,n∈N^*，n>1,求证：成等差数列；

（3）　　  在（2）的条件下，用x₁和n表示x_n。

20.已知f(x)是定义在[－1,1]上的偶函数,g(x)与f(x)的图象关于直线x=1对称,

当x∈[2,3]时,g(x)=2a(x－2)－3(x－2)³,其中常数a>。

(1)求f(x)的解析式;

(2)求f(x)的单调区间;

(3)若f(x)的最大值为12,求实数a的值.

21.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T, 对任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立。

(1)函数f(x)=x是否属于集合 M?说明理由;

(2)设函数f(x)= a^x(a>0,且a≠1)的图象与y=x的图象有公共点,证明:

f(x)= a^x∈M;

(3)若函数f(x)=sinkx∈M，求实数k的取值范围。

【参考答案】

一.1.A　　2.C　 3.C　 4.B　 5.D　 6.C　　7.A　　8.D　　 9.B　　10.A

二.11.0.5　　  12.－　 13.10　　　  14.8/5　　 15.P=　　

三.16.(1)解:f(x)=2sinxcos+cosx+a

　　　　　　 =

=2sin(x+)+a

∴T=2

(2)由f(x)=2sin(x+)+a的最大值为1可得

a+2=1　　∴a=－1

17.解(1) 由y=

得(^x)²－2y^x－1=0

∴

∵　∴

∴x=log(y+)

∴f^－1(x)=log _a (x+)　　x∈R

(2)证：∵

∴

∴

18.解：（1）由　　　

可得

∴

其公差d=

∴_n=－2n+10

(2)∵₅=0 ∴当n<5时，_n>0

　　　　  当n>5时，_n<0

∴当n≤5时，S_n=－n(n+1)+10=－n²+qn

　当n>5时，S_n=2S₅－S_n=n²－9n+40

(3)∵

∴T=]

　　=

∵T

∴

即

∴m<8

∴最大的整数m=7

19.解：（1）由f(2)=1，知2+b=2

又∵方程

且0为方程一解

∴

∴

（2）

由

∴

∴

(3)

即

∴

20.解(1)∵g(x)与f(x)的图象关于x=1对称

∴f(x)=g(2－x)

当

∴f(x)=g(2－x)=2a(－x)－3(－x)³=3x³－2ax

当

∴f(－x)=－3x³+2ax

∵f(x)为偶函数∴f(x)=f(－x)=－3x³+2ax

∴f(x)=3x³－2ax　　x∈[－1,0]

　　　　－3x³+2ax　　x∈[0,1]

(2)当 ∵ a>　

∴f ^’(x)>0

∴f(x)在[0,1]上为增函数

∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[－1，0]上为减函数

（3）由(2)可知,[f(x)]_max=f(1)=－3+2a=12

∴ a=

21.解： (1)∵f(x)=x　 ∴f(x+T)=x+T

令x+T=Tx

得(T－1)x=T

该等式不对x∈R都成立

∴f(x)=xM

(2)∵f(x)=a^x的图象与y=x的图象有公共点

∴方程a^x=x有解,设其为T，显然T≠0

∴a^T=T

∴对任意x∈R, f(x+T)= a^x+T=a^T·a^x=T·a^x

∴f(x)= a^x∈M

(3)∵f(x)=sinkx∈M

∴存在T≠0使sink(x+T)=Tsinkx

即[coskT－T]sinkx+coskx·sinkT=0

对x∈R都成立

　　　coskT=T　(1)

∴　　sinkT=0　 (2)

(1)²+(2)²=1 的T²=1

∴T=

　　 cos(k)=1

∴

　　 sin(±k)=0

∴k=m(m∈z)

综上知, k的取值范围为