第一学期高三数学期中试卷
第I卷（选择题，共60分）
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若
的定义域为M，
的定义域为N，令全集
，则
（ ）
A. 
B.
C.
D.
2. 已知数列
中，
，则这个数列前n项和的极限是（ ）
A. 2 B.
C.
3 D.
3. 已知函数
，则它的反函数
的图像是（ ）
4. 如图，圆柱的高为8，点A和点B分别在上下底面的圆周上，且
，则直线AB与圆柱的轴
所成角的大小为（ ）
A. 
B.
C.
D.
5. 函数
图像的两条相邻对称轴之间的距离是（ ）
A. 
B.
C.
D.
6. （理科作）过点
且平行于极轴的直线的极坐标方程是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
7. （文科作）点
关于直线
对称的点的坐标是（ ）
A. 
B.
C.
D.
8. 圆台的侧面展开图是一个内外半径分别为3和6，中心角为的扇环，则此圆台的全面积是（ ）
A. 
B.
C.
D.
9. 定义在
上的函数
在
上是增函数，且函数
图像的对称轴是
，则（ ）
A. 
B.
C. 
D.
10. 若圆
上有且仅有两个点到直线
的距离等于1，则半径R的取值范围是（ ）
A. 
B.
C.
D.
11. 某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元。某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花（ ）
A. 3360元 B. 6720元 C. 4320元 D. 8640元
12. 图中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD的点A作截面AB1C1D1而截得的，且B1B=D1D。已知截面AB1C1D1与底面ABCD成
的二面角，
，则这个多面体的体积为（ ）
A. 
B.
C.
D.
13. 已知双曲线
的离心率
，令双曲线两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角为
，则的取值范围是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
第II卷（非选择题共90分）
二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
14. 若
展开式中的第5项为常数，则
。
15. 抛物线
的准线方程是
。
16. 已知
，则
是值是
。
17. 已知如图，正方体ABCD—A1B1C1D1，过点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角皆相等，试写出满足这样条件的一个截面 。（注：只需任意写出一个。）
三. 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（理科作）（本小题满分12分）
已知
，求使
成立的自变量x的取值范围。
19.（文科作）（本小题满发12分）
解关于x的不等式：
20.（本小题满分12分）
已知：复数
，求：
的值。
21.（本小题满分12分）
已知：如图，
平面ABCD，
，
。
（I）求PB与平面PDC所成角的大小；
（II）求二面角D—PB—C的正切值；
（III）（理科作）若
，求证平面
平面PBC。
（IV）（文科作）若，E为PC中点，求证DE//平面PAB。
22.（理科作）（本小题满分12分）
已知椭圆的两个焦点分别为
，
，离心率
。
（I）求椭圆方程；
（II）一条不与坐标轴平行的直线
与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN中点的横坐标为
，求直线倾斜角的取值范围。
23.（文科作）（本小题满分12分）
把椭圆
绕它的中心旋转
后，再沿x轴方向平行移动，使变换后的椭圆截直线
所得的线段长为
，试写出变换后的椭圆方程。
24.（本小题满分12分）
用洗衣机洗衣时，洗涤并甩干后进入漂洗阶段。漂洗阶段由多次漂洗和甩干组成，每次漂洗 后可使残留物均匀分布，每次甩干后（包括洗涤后的甩干）衣物中的残留水份（含有残留物）的重量相同，设计时，将漂洗的总用水量定为a千克，漂洗并甩干的次数定为3次。为使漂洗后衣物中的残留物最少，怎样确定每次漂洗的用水量？并写出你的数学依据。
[注：为了便于解决问题，可参考以下各量的字母表示。设每次甩干后衣物中的残留水份（含有残留物）的重量为m，洗涤并甩干后衣物中的残留物（不含水份）为
，三次漂洗并甩干后衣物中的残留物（不含水份）分别为
，三次用水量分别为
。（以上各量单位皆为千克）]
25.（理科作）（本小题满分14分）
数列中，前
项和
其中
是常数，且
。
（I）求的通项公式
，并证明
；
（2）令
，试判断数列
中任意相邻两项的大小。
26.（文科作）（本小题满分14分）
已知数列是等差数列，
，前n项和为
；数列
是等比数列，前n项和为
，若
。
（I）求和的通项公式；
（II）判断是否存在最小的自然数，使得大于的一切自然数n，总有
成立，并给出你的证明。
『答案』
一. 1. B 2. A 3. D 4. B 5. A 6. A 7. A 8. B 9. A 10. C
11. D 12. D 13. C
二. 14. 12
15. 
16. 
17. 截面AB1D1，或截面ACD1，或截面AB1C。（注：未写截面二字不扣分）
三.
18. 解：
当
时
当
时
综上：当时，不等式的解为
当时，不等式的解为
…………………12分
19. 解：
………………………………………………2分
当时
当时
综上：当时，不等式的解为
当时，不等式的解为…………………12分
20. 解：由已知
即
由(1)得 
由(2)得 
…………………………8分
两式相除，得
……………………………………10分
………………12分
评分标准说明：
由复数相等的充要条件转化为两个三角等式各2分。
两次和差化积各2分。求出占2分。
用正切倍角公式计算正确占2分。两个复数的三角形式写对可各给1分。
21.（I）解：由平面ABCD，BC
平面ABCD，得
。
由
，得
。
又
，则
平面PDC……………………2分
所以
为直线PB与平面PDC所成的角
令
，则
，
，可求出
。………………3分
由平面PDC，PC平面PDC，得
。
在
中，由
得
即直线PB与平面PDC所成的角为
……………………………………4分
（II）解法（一）：
取PC中点E，连DE，则
。
由BC
平面PDC，BC平面PBC
得平面PDC平面PBC。
则DE平面PBC。…………………………………………………………5分
作
于F，连DF
由三垂线定理，得
则
为二面角D—PB—C的平面角…………………………………7分
在
中，求得
在
中，求得
在
中，
即二面角D—PB—C大小的正切值为
………………………………8分
解法（二）：
由平面ABCD，PD平面PDB
得平面
平面ABCD
作
于H
则
平面PDB…………………………………………………………5分
作
于F，连CF
由三垂线定理得
则
为二面角D—PB—C的平面角………………………………7分
在等腰中，求出斜边上的中线
在
中，求出
，可进一步求出斜边上的高
在
中，求出
即二面角D—PB—C大小的正切值是…………………………………8分
（III）证：取PB中点G，连AG和EG
由三角形中位线定理得
由已知，AD//BC，
则四边形AGED为平行四边形
………………………………………………………………10分
由（II）的解法（一），已证出
平面PBC
平面PBC
又
平面PAB
平面PAB平面PBC…………………………………………………12分
（IV）证：取PB中点G，连AG和EG
由三角形中位线定理得
由已知，AD//BC，
则四边形AGED为平行四边形
………………………………………………………………10分
又平面PAB，DE
平面PAB
平面PAB……………………………………………………12分
22. 解：（I）设椭圆方程为
由已知，
由解得
为所求………………………………………3分
（II）设直线的方程为
解方程组
将(1)代入(2)并化简，得
……………4分
由于
化简后，得
将(4)代入(3)化简后，得
………………………………9分
解得
………………………………………………………10分
由已知，倾斜角不等于
倾斜角的取值范围是
……………………12分
23. 解：旋转后的椭圆方程为
………………………3分
设平移后的椭圆方程为
…………………………4分
解方程组
将(2)代入(1)后，得
化简后，得
……………………7分
由椭圆截直线所得线段长为有
…………………………………9分
解得
或
，并且都使方程(3)有实根
变换后的椭圆方程为：
………………………………11分
或
………………………………………………12分
24. 解：
由已知，得
……………………………………………………4分
解得
…………………………………………………5分
同样可得
…………………………………6分
……………………………………7分
由
及平均值定理，得
当且仅当
时等号成立………………………………………10分
当且仅当时等号成立………………………………………11分
则将a千克的水平均分成三次使用可使衣物上的残留物最少………………12分
25. 解：（I）
………………………………………………………1分
（
）…………………………………………3分
当
时也能满足上式
（
）………………………………………4分
（）……………………………………………6分
（II）由（I）及对数的性质可得数列中各项皆为正值
………………………………………………………7分
………………………………………………9分
……………………………………………………10分
……………………………………11分
……………………………………………………13分
又
………………………………………………14分
26. 解：（I）设的公差为d，的公比为
，由已知得方程组：
化简后，得
………………………………………2分
将(1)(3)代入(2)并化简后，得
解得
或
（舍）
将代入(1)(3)分别求出
……………………………5分
则
……………………………………………7分
（II）
……………………………………………………8分
考查不等式
，当
时不成立，
时成立，猜想取
………………………………………………………………………………………10分
用数学归纳法证明如下：
（1）当时，
，不等式成立。
（2）假设
时，不等式成立，即
。
则当
时，
，不等式也成立。
综合（1）（2），对任意
的自然数n，不等式成立。……12分
评分标准说明：列方程组正确2分，解方程组每个解正确各1分。通项公式写对各1分，代入计算
正确占1分。猜想占2分，用数学归纳法证明占4分。