调研测试题高三数学参考答案及评分标准

说明：

　　　 1．本解答指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

　　　 2．对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

　　　 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一．选择题：CACB(理(文_BDCC(理(文_BC

二．填空题：13．(理)－1 (文)27　　14．960x³　　15．　16．(理)①③④　(文)③

三．解答题

17．解：sin A ＋sin C ＝sin B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分
　　sin A＋sin A cos C＋sin C＋sin C cos A＝3 sin B
　　sin A＋sin C＋sin (A＋C)＝3 sin B，∴sin A＋sin C＝2sin B，即2b＝a＋c　　　　　　　　 6分
　　由余弦定理，得
　　　　　　 10分
　　∵ 0＜B＜ 且函数y＝cos x在[0，]上是减函数
　　∴0＜B≤，即B的范围是(0，]．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

18．(1)解：由题知f ^/ (x)＝3x²＋2ax＋b＝0的两根为和1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分
　　∴由韦达定理有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

(2)解：由(1)知
　　当x∈[－1，－)时，f ^/ (x)＞0；x∈(－，1)时，f ^/ (x)＜0；x∈(1，2]时，f ^/ (x)＞0
　　∴当x＝－时，f (x)有极大值　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分
　　又f (2)＝2＋c＞，f (－1)＝＋c＜
　　∴x∈[－1，2]时，f (x)的最大值为f (2)＝2＋c　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分
　　∵对x∈[－1，2]，f (x)＜c²恒成立
　　∴c²＞2＋c，解得c＜－1或c＞2．　　　　　　　12分

19．(1)证：以A为原点，分别以为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
　　设BE＝x，则有B₁(a，0，a)，D₁(0，a，a)，
E(a，x，0)，F(a－x，a，0)　　　　　　　　　　 2分
　　∴
　　∴
　　因此，B₁F⊥D₁E．　　　　　　　　　　　  4分

(2)解：　　　　　　　 6分
　　当时，三棱锥C₁－CEF的体积最大，这时E、F分别为BC、CD的中点　8分
　　连结AC交EF于G点，连结C₁G，则AC⊥EF
　　由三垂线定理知C₁G⊥EF，∴∠C₁GC是二面角C₁－EF－C的平面角　　　　　　　　 10分
　　∵，∴
　　即二面角C₁－EF－C的大小为．　　　　　　　　　　　　　 12分

20．(理科)解：设保险公司要求顾客交x元保险金，若以x 表示公司每年的收益额，则x是一个随机变量，其分布列为：

x	x	x－a
P	1－p	p

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分
　　因此，公司每年收益的期望值为Ex ＝x(1－p)＋(x－a)·p＝x－ap．　　　　　　　　　　　　 8分
　　为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需Ex ＝0.1a，即x－ap＝0.1a，
　　故可得x＝(0.1＋p)a．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
　　即顾客交的保险金为 (0.1＋p)a时，可使公司期望获益10%a．　　　　　　　　　　　　　　　 12分

(文科)(1)解：这批食品不能出厂的概率是：
　　　　　　 P＝1－0.8⁵－×0.8⁴×0.2≈0.263．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分
　　(2)解：五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：
　　　　　　P₁＝×0.2×0.8³×0.8　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分
　　五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：
　　　　　　P₂＝×0.2×0.8³×0.2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
　　由互斥事件有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是否出厂的概率是：P＝P₁＋P₂＝×0.2×0.8³＝0.4096．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

21．(理科) (1) 解：∵f ₁(0)=2　∴ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1分
　　∵，
　　∴　　　　　　　　　 3分
　　∴数列{a_n}是首项为，公比为的等比数列，　　　　　　　　　4分

(2)证：
　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分
　　
　　　　　　　　　　8分
　　
　　当n＝1时，2²ⁿ＝4，(2n＋1)²＝9，∴9T_2n＜Q_n
　　当n＝2时，2²ⁿ＝16，(2n＋1)²＝25，∴9T_2n＜Q_n
　　当n≥3时，，∴9T_2n＞Q_n 　　12分

(文科)(1)解：a₁＝f (d－1)＝(d－2)²，a₃＝f (d＋1)＝d ²
　　∴d²＝(d－2)²＋2d，解得d＝2，故a_n＝2n－2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3分
　　b₁＝f (q＋1)＝q²，b₃＝f (q－1)＝(q－2) ²
　　∴(q－2) ²＝q²×q²，解得q＝－2，故b_n＝(－2)^n＋1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分
　　(2)解：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分
　　∴　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
　　∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

22．(理)(1)证：∵f (x)的图象与x轴有两个不同的公共点
　　∴方程f (x) ＝0有两个不同的实根
　　∵f (c)＝0，∴c是方程f (x)＝0的一个根
　　设方程的另一根为x₀，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分
　　若，由0＜x＜c时，f (x)＞0 得：，与矛盾　　　　　　　　4分
　　又方程f (x)＝0有两个不同的实根，∴≠c，因此　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

(2)证： f (c)＝0　Û　ac＋b＋1＝0，∴b＝－1－ac＜－1
 　 ∵，∴，∴－2＜b＜－1 ．　　　　　　　　　　　　　　　 10分

(3)证：∵0＜1＜c，∴f (1)＞0，即a＋b＋c＞0 Þ b＞－a－c　　　　　　　　　　　　　　 12分
　　
　　又∵，c＞1 ∴ Þ a＜c
　　∴，故

(文)(1)证明：任取x₁，x₂(－∞，0)，且x₁＜x₂，则－x₁，－x₂∈(0，＋∞)，且－x₁＞－x₂
　　∵f (x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是奇函数
　　∴f (－x₁)＝－f (x₁)， f (－x₂)＝－f (x₂)　　①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分
　　∵f (x)在(0，＋∞)上是增函数
　　∴f (－x₁)＞f (－x₂)　　②
　　由①②得　－f (x₁)＞－f (x₂)，即f (x₁)＜f (x₂)
　　∴f (x)在(－∞，0)上是增函数．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

(2)解：奇函数f (x)满足f (1)＝0且在(0，＋∞)上是增函数
∴当x＞0时，由f (x)＜0得　f (x)＜f (1)，因而0＜x＜1　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分
　当x＜0时，由f (x)＜0得　f (x)＜f (1)＝f (－1)，因而x＜－1
∴使f (x)＜0的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

(3)由(2)知f [g (x)]＜0即g (x)＜－1或0＜g (x)＜1
　　由题得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
　　由g (x) ＜－1得：－x²＋mx＋1－2m＜－1
　　即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分
　　∵，∴
　　当且仅当，即时，等号成立
　　从而　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14分