第一章　集合、指数函数与对数函数

考试内容：

集合.子集、交集、并集、补集.

逻辑联结词。四种命题。充要条件。

映射.函数(函数的记号、定义域、值域).

函数的单调性.（函数的奇偶性）

反函数.互为反函数的函数图象间的关系.

指数概念的扩充。有理指数幂的运算性质。指数函数。对数。对数的运算性质。对数函数。函数的应用举例。实习作业。

二次函数.

考试要求：

(1)理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的术语和符号，能正确地表示一些较简单的集合.

（2）理解逻辑逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义。

(3)了解映射的概念，在此基础上理解函数及其有关的概念掌握互为反函数的函数图象间的关系.

(3)理解函数的单调性的概念，并能判断一些简单函数的单调性的方法。

（4）了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单的反函数。

（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图象和性质。

（6）理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数的概念、图象和性质。

（7）能够运用函数的性质、指数函数、对数函数的性质解决某些简单的实际问题。

(8)实习作业以函数应用为内容，培养学生应用函数知识解决实际问题的能力。

一、选择题

1.在下面给出的函数中，哪一个既是区间(0，)上的增函数，又是以π为周期的偶函数(85(3)3分)
A.y＝x²　　　　　　　B.y＝sinx　　　　 C.y＝cos2x　　　　　D.y＝e^sin2x

2.函数y＝(0.2)^－x＋1的反函数是(86(2)3分)
A.y＝log₅x＋1　　　　B.y＝log_x5＋1　　　　C.y＝log₅(x－1)　　　D.y＝log₅x－1

3.在下列各图中，y＝ax²＋bx与y＝ax＋b的图象只可能是(86(9)3分)
A.　　　　　　　　　B.　　　　　　　　　C.　　　　　　　　　D.

4.设S，T是两个非空集合，且SS，令X＝S∩T，那么S∪X＝(87(1)3分)
A.X　　　　　　　　 B.T　　　　　　　　 C.Φ　　　　　　　　D.S

5.在区间(－∞，0)上为增函数的是(87(5)3分)
A.y＝－log_0.5(－x)　　B.y＝　　　　　 C.y＝－(x＋1)²　　　 D.y＝1＋x²

6.集合{1，2，3}的子集总共有(88(3)3分)
A.7个　　　　　　　 B.8个　　　　　　　 C.6个　　　　　　　 D.5个

7.如果全集I＝{a，b，c，d，e}，M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，则＝(89(1)3分)
A.φ　　　　　　　　B.{d}　　　　　　　 C.{a，c}　　　　　　D.{b，e}

8.与函数y＝x有相同图象的一个函数是(89(2)3分)
A.y＝　　　B.y＝　　　　　C.y＝a(a＞0且a≠1)　D.y＝log(a＞0且a≠1)

9.已知f(x)＝8＋2x－x²，如果g(x)＝f(2－x²)，那么g(x)(89(11)3分)
A.在区间(－1，0)上是减函数　　　　　　　B.在区间(0，1)上是减函数
C.在区间(－2，0)上是增函数　　　　　　　D.在区间(0，2)上是增函数

10.设全集I＝{(x，y)x，y∈R}，M＝{(x，y)＝1}，N＝{(x，y)y≠x＋1}，则＝(90(9)3分)
A.φ　　　　　　　　B.{(2，3)}　　　　　C.(2，3)　　　　　　D.{(x，y)y＝x＋1}

11.如果实数x，y满足等式(x－2)²＋y²＝3，那么的最大值是(90(10)3分)
A.　　　　　　　　B.　　　　　　　 C.　　　　　　　 D.

12.函数f(x)和g(x)的定义域为R，“f(x)和g(x)均为奇函数”是“f(x)与g(x)的积为偶函数”的(90上海)
A.必要条件但非充分条件　　　　　　　　　B.充分条件但非必要条件
C.充分必要条件　　　　　　　　　　　　　D.非充分条件也非必要条件

13.如果log_a2＞log_b2＞0，那么(90广东)
A.1＜a＜b　　　　　 B.1＜b＜a　　　　　 C.0＜a＜b＜1　　　　D.0＜b＜a＜1

14.如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是(91(13)3分)
A.增函数且最小值为－5　　　　　　　　　 B.增函数且最大值为－5
C.减函数且最小值为－5　　　　　　　　　 D.减函数且最大值为－5

15.设全集为R，f(x)＝sinx，g(x)＝cosx，M＝{xf(x)≠0}，N＝{xg(x)≠0}，那么集合{xf(x)g(x)＝0}等于
A.　　　　　　 B.∪N　　　　　　 C.∪N　　　　　　 D.

16.等于(92(1)3分)
A.　　　　　　　　B.1　　　　　　　　 C.　　　　　　　　D.2

17.函数y＝的反函数(92(16)3分)
A.是奇函数，它在(0，＋∞)上是减函数　　 B.是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数
C.是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数　　 D.是偶函数，它在(0，＋∞)上是增函数

18.如果函数f(x)＝x²＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么(92(17)3分)
A.f(2)＜f(1)＜f(4)　　　　　　　　　　　B.f(1)＜f(2)＜f(4)
C.f(2)＜f(4)＜f(1)　　　　　　　　　　　D.f(4)＜f(2)＜f(1)

19.F(x)＝[1＋]f(x)，(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于0，则f(x)(93(8)3分)
A.是奇函数　　　　　　　　　　　　　　　B.是偶函数
C.可能是奇函数也可能是偶函数　　　　　　D.不是奇函数也不是偶函数

20.设a，b，c都是正数，且3^a＝4^b＝6^c，那么(93(16)3分)
A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.

21.设全集I＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{2，3，4}，则＝(94(1)4分)
A.{0}　　　　　　　 B.{0，1}　　　　　　C.{0，1，4}　　　　 D.(0，1，2，3，4}

22.设函数f(x)＝1－(－1≤x≤0)，则函数y＝f^－1(x)的图象是(94(12)5分)
A.　　　　 y　　　　B.　y　　　 1　　　 C.　 y　　　　　　　D. y　　　1
　　　　　　 1　　　　　　　　　　 x 　　 1　　　　　　　　 O　　　　　 x

　　　　　　　　　　－1　　　　　　　　　　　　　　　　－1
　　－1　　O 　 x　　　　　　　　　　　　O　　　　 1　 x

23.定义在R上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和，如果f(x)＝lg(10^x＋1)，x∈R，那么(94(15)5分)
A.g(x)＝x，h(x)＝lg(10^x＋10^－x＋1)　　　　B.g(x)＝，h(x)＝
C.g(x)＝，h(x)＝lg(10^x＋1)－　　　　 D.g(x)＝－，h(x)＝

24.当a＞1时，函数y＝log_ax和y＝(1－a)x的图像只可能是(94上海)
A.　　y　　　　　　 B.　　y　　　　　　 C.　y　　　　　　　 D.　　y

　 0　　1　　　 x　　 0　　1　　 x　　　　0　　1　　 x　　　　　0　　1　　 x

25.如果0＜a＜1，那么下列不等式中正确的是(94上海)
A.(1－a)＞(1－a) B.log₍₁_－a)(1＋a)＞0　　C.(1－a)³＞(1＋a)²　 D.(1－a)¹^＋a＞1

26.已知I为全集，集合M，NÌI，若M∩N＝N，则(95(1)4分)
A.　　　　　B.ÍN　　　　　　　 C.　　　　　　D.ÊN

27.函数y＝－的图象是(95(2)4分)
　A.　 y　　　　　B.　　　　　 y　　　　C.　 y　　　　　　　D.　　　 y

　　　O　1　　　x　　　　－1　　O　x　　 O　 1　　　 x　　　－1　O　　x

28.已知y＝log_a(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是(95(11)5分)
A.(0，1)　　　　　B.(1，2)　　　　　　　C.(0，2)　　　　　　D.[2，＋∞)

29.已知全集I＝N，集合A＝{xx＝2n，n∈N}，B＝{xx＝4n，n∈N}，则(96(1)4分)
A.I＝A∪B　　　　 B.I＝∪B　　　　　　C.I＝A∪　　　　　D.I＝

30.当a＞1时，同一直角坐标系中，函数y＝a^－x，y＝log_ax的图象是(96(2)4分)
A. 　　y　　　　　B. 　　y 　　　　　　 C. y　　　　　　　　D.　 y

　　　 1　　　　　　 1　　　　　　　　 1　　　　　　　　　 1

　　O　　1　　 x　　 O　 1　　　 x　　　 O　　 1　　 x　　　 O　1　　　 x

31.设f(x)是(－∞，∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1，f(x)＝x，则f(7.5)＝(　　) (96(15)5分)
A.0.5　　　　　　 B.－0.5　　　　　　　 C.1.5　　　　　　　 D.－1.5

32.如果log_a3＞log_b3＞0，那么a、b间的关系为(96上海)
A.0＜a＜b＜1　　　B.1＜a＜b　　　　　　 C.0＜b＜a＜1　　　　D.1＜b＜a

33.在下列图像中，二次函数y＝ax²＋bx与指数函数y＝的图像只可能是(96上海)
A.　　　　　　　　B.　　　　　　　　　　C.　　　　　　　　　D.

34.设集合M＝{x0≤x＜2}，集合N＝{xx²－2x－3＜0}，集合M∩N＝(97(1)4分)
A.{x0≤x＜1}　　 B.{x0≤x＜2}　　　　 C.{x0≤x≤1}　　　 D.{x0≤x≤2}

35.将y＝2^x的图象
A.先向左平行移动1个单位　　　　　　　　B.先向右平行移动1个单位
C.先向上平行移动1个单位　　　　　　　　D.先向下平行移动1个单位
再作关于直线y＝x对称的图象，可得到函数y＝log₂(x＋1)的图象.(97(7)4分)

36.定义在区间(－∞，＋∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0，＋∞)的图象与f(x)重合.设a＞b＞0，给出下列不等式:
①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)　　　　　　②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)
③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)　　　　　　④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)
其中成立的是(97(13)5分)
A.①与④　　　　　B.②与③　　　　　　　C.①与③　　　　　　D.②与④

37.函数y＝a^x(a＞1)的图像是(98(2)4分)
A.　 y　　　　　　B.　　y　　　　　　　 C.　　y　　　　　　 D.　　 y

　　　　　　　　　　　　　 1　　　　　　　　 1　　　　　　　　　 1
　　　o　　　 x　　　　 o　　　 x　　　　o　　　 x　　　　　　 o　　　x

38.函数f(x)＝(x≠0)的反函数f^－1(x)＝(98(5)4分)
A.x(x≠0)　　　　 B.(x≠0)　　　　　　C.－x(x≠0)　　　　 D.－(x≠0)

39.

如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是
A.(M∩P)∩S　　　 B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩　　　D.(M∩P)∪(99(1)4分)

40.已知映射f:AàB，其中集合A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是a，则集合B中的元素的个数是(99(2)4分)
A.4　　　　　　　 B.5　　　　　　　　　 C.6　　　　　　　　 D.7

41.若函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，f(a)＝b，ab≠0，则g(b)＝(99(3)4分)
A.a　　　　　　　 B.a－1　　　　　　　　C.b　　　　　　　　 D.b－1

42.设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么是(2000安徽(2)4分)
A.Φ　　　　　　　B.{d}　　　　　　　　 C.{a，c}　　　　　　D.{b，e}

43.函数y＝lgx(2000安徽(7)4分
A.是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B.是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C.是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D.是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减

44.已知函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d的图象如右图，则(2000安徽(14)5分)
A.b∈(－∞，0)　　B.b∈(0，1)　　　　　 C.b∈(1，2)　　　　 D.b∈(2，＋∞)

45.设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2ⁿ＋n，则在映射f下，象20的原象是(2000⑴5分)
A.2　　　　　　　 B.3　　　　　　　　　 C.4　　　　　　　　 D.5

46.

函数y＝－xcosx的部分图象是(2000⑸5分)

47.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分别累进计算.

全月应纳税所得额	税率
不超过500元的部分	5%
超过500元至2000元的部分	10%
超过2000元至5000元的部分	15%
…	…

某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于(2000⑹5分)
A.800～900元　　　B.900～1200元　　　　 C.1200～1500元　　　D.1500～2800元

48.若集合S＝{yy＝3^x，x∈R}，T＝{yy＝x²－1，x∈R}，则S∩T是(2000上海(15)4分)
A.S　　　　　　　 B.T　　　　　　　　　 C.Φ　　　　　　　　D.有限集

49.集体的子集个数是（2001北京（1）5分）

（A）32　　　　　（B）31　　　　　　　（C）16　　　　　　　　　（D）15

53．函数对于任意的实数都有　（2001北京（2）5分）

　　（A）　　　　　　（B）

　　（C）　　　　　（D）

54．函数的反函数是　（2001北京（4）5分）

　　（A）　　　　　（B）

　　（C）　　　　　　　（D）

55．已知，那么等于　（2001北京（7）5分）

　　（A）　　　　（B）8　　　　　（C）18　　　　（D）

56．若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log_2a(x+1)满足f(x)>0，则a的取值范围是（）

　 A．（0，1/2） B.　 C.(1/2,+∞)　　 D.(9,+ ∞)　(2001(4)5分)

57.设f(x),g(x)都是单调函数,则下列命题正确的是:　　 (2001(10)5分)

　①f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)—g(x)单调递增；

　②f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)—g(x)单调递增；

　③f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)—g(x)单调递减；

　④f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)—g(x)单调递减；

　A．①③　　 B。①④　　　C。②③　　　D。②④

58．函数（）是单调函数的充要条件是　（2002（9）5分）

（A）　　　（B）　　　　（C）　　　（D）

59．函数的图象是　（2002（10）5分）

二、填空题

1. 设函数f(x)的定义域是[0，1]，则函数f(x²)的定义域为________.(85(10)4分)

2. 已知圆的方程为x²＋(y－2)²＝9，用平行于x轴的直线把圆分成上下两个半圆，则以上半圆(包括端点)为图像的函数表达式为_____________(85广东)

3. 方程的解是__________.(86(11)4分)

4. 函数y＝的反函数的定义域是__________.(89(15)4分)

5. 函数y＝的值域为_______________(89广东)

6. 设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为__________.(92(21)3分)

7. 已知函数y＝f(x)的反函数为f^－1(x)＝－1(x≥0)，那么函数f(x)的定义域为_________(92上海)

8.　　设f(x)＝4^x－2^x^＋1(x≥0)，f^－1(0)＝_________.(93(23)3分)
注:原题中无条件x≥0，此时f(x)不存在反函数.

9.　　在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a₁，a₂，…a_n，共n个数据，我们规定所测物理量的“最佳近似值”a是这样一个量:与其它近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a₁，a₂，…a_n推出的a＝_______.(94(20)4分)

10.　1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，2000年底世界人口数为y(亿)，那么y与x的关系式为___________(96上海)

11.　函数y＝的定义域为____________(96上海)

12.　函数f(x)＝a^x(a＞0,a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a＝______(98上海)

13.　函数y＝log的定义域为____________(2000上海(2)4分)

14.　已知f(x)＝2^x＋b的反函数为y＝f^－1(x)，若y＝f^－1(x)的图像经过点Q(5，2)，则b＝_______(2000上海(5)4分)

15.　根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP是指国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需要_________年(2000上海(6)4分)
(按：1999年本市常住人口总数约1300万)

16.　设函数y＝f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图像为如图所示的线段AB，

则在区间[1，2]上，f(x)＝_____(2000上海(8)4分)

20．函数在上的最大值与最小值这和为3，则＝　　　　（2002（13）4分）

21．已知，那么＝　　

（2002（16）4分）

22．若全集I=R，f(x),g(x)均为x的二次函数，P={xf(x)<0}，Q={xg(x)≥0}，则不等式组的解集可用P、Q表示为　　　　。（2002上海春招（3））

23．在空间中

①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；

②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。

以上两个命题中，逆命题为真命题的是　　　　　　。（把符合要求的命题序号填上）

（2001天津理（15））

24．设集合A={x2lgx=lg(8x-15),x∈R}，B={xcosx/2>0,x∈R}，则A∩B的元素个数为　　　。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2001上海理（4））

25．设I是全集，非空集合P、Q满足PQI，若含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这具运算表达式可以是　　　　　　。（只要写出一个表达式）

　　　　　　　　　　　　　　　（2000上海春招（12））

三、解答题

1. 设a，b是两个实数，A＝{(x，y)x＝n，y＝na＋b，n是整数}，B＝{(x，y)x＝m，y＝3m²＋15，m是整数}，C＝{(x，y)x²＋y²≤144}是xoy平面内的集合，讨论是否存在a和b使得①A∩B≠φ，②(a，b)∈C同时成立.(85(17)12分)

2. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:①CÍA∪B，且C中含有3个元素，②C∩A≠φ(φ表示空集)(86(20)10分)

3. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝(x∈R且x≠)，证明:
①经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x轴；
②这个函数的图象关于直线y＝x成轴对称图形.(88(24)12分)

4. 已知a＞0且a≠1，试求使方程log_a(x－ak)＝log_a2(x²－a²)有解的k的取值范围.(89(22)12分)

5. 设f(x)是定义在R上以2为周期的函数，对k∈Z，用I_k表示区间(2k－1，2k＋1]，已知当x∈I₀时，f(x)＝x².(89(24)10分)
①求f(x)在I_k上的解析表达式；
②对自然数k，求集合M_k＝{a使方程f(x)＝ax在I_k上有两个不相等的实根}

6. 设f(x)＝lg，其中a是实数，n是任意给定的自然数，且n≥2.
①如果f(x)当x∈(－∞，1]时有意义，求a的取值范围；
②如果a∈(0，1]，证明2f(x)＜f(2x)当x≠0时成立.(90(24)10分)

7. 根据函数单调性的定义，证明函数f(x)＝－x³＋1在R上是减函数.(91(24)10分)

8.　已知函数f(x)＝(91三南)
⑴证明：f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数；
⑵证明：对不小于3的自然数n都有f(n)＞

9.　　某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系:
P＝1000(x＋t－8)　(x≥8，t≥0)
Q＝500 (8≤x≤14)
当P＝Q时的市场价格称为市场平衡价格.
①将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；
②为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元?(95(25)12分)

10.已知二次函数y＝f(x)在x＝＋1处取得最小值－(t＞0),f(1)＝0(95上海)
⑴求y＝f(x)的表达式；
⑵若任意实数x都满足等式f(x)g(x)＋a_nx＋b_n＝xⁿ^＋1(其中g(x)为多项式，n∈N),试用t表示a_n和b_n；
⑶设圆C_n的方程为：(x－a_n)²＋(y－b_n)²＝r_n²,圆C_n与圆C_n_＋1外切(n＝1,2,3…)，{r_n}是各项都为正数的等比数列，记S_n为前n个圆的面积之和，求r_n和S_n.

11.设二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c(a＞0)，方程f(x)－x＝0的两个根x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂＜.
Ⅰ.当x∈(0，x₁)时，证明x＜f(x)＜x₁；
Ⅱ.设函数f(x)的图象关于直线x＝x₀对称，证明:x₀＜.(97(24)12分)

12.设函数f(x)＝lgx，若0＜a＜b，且f(a)＞f(b)，证明：ab＜1(2000安徽(21)12分)

13.已知函数f(x)＝其中f₁(x)＝－2(x－)²＋1，f₂(x)＝－2x＋2.(2000安徽(24)14分)
(I)在下面坐标系上画出y＝f(x)的图象；
(II)设y＝f₂(x)(x∈[，1])的反函数为y＝g(x)，a₁＝1，a₂＝g(a₁)，……，a_n＝g(a_n_－1)，求数列{a_n}的通项公式，并求；
(III)若x₀∈[0，)，x₁＝f(x₀)，f(x₁)＝x₀，求x₀.

14.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.(2000(21)12分)
⑴写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P＝f(t)；
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)；
⑵认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
(注：市场售价和种植成本的单位：元/10kg，时间单位：天)