高中毕业班数学质量检测（一）
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页，另有答题卷4页．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.
参考公式：
|
|
.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
（1）集合
，
，则有
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）
等于
（A）0
（B）1 （C）
（D）
（3）某单位有职工160人，其中业务人员120人，管理人员16人，后勤人员24人. 为了
了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本. 若要用分层抽样的方法,则抽
取的业务人员，管理人员，后勤人员的人数分别为
（A）7、6、7 （B）15、2、3 （C）10、4、6 （D）17、1、2
（4）已知
，
，则
等于
（A）
（B）
(C)
(D) 
（5）复数
的共轭复数是
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）已知命题
，命题
，有如下判断：①
或
为真；② 
或为假；③ 且为真；④为真．其中正确的是
（A）①② （B）①④ （C）②④ （D）③④
（7）给定两个向量
，
，
，则x的值等于
（A）－3
（B）
（C）3 （D）－
（8）已知函数
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）设函数f ( x ) 是定义域为R且周期为3的奇函数，若 f ( 1 ) =1 ，f ( 2 ) = a ，则
(A) a =1 （B） a = -1 （C） a = 2 （D） a= -2
（10）从甲地到乙地通话m分钟的电话费由函数
给出，其中m>0， [m]表示大于或等于m的最小整数，如:[3]=3，[3.1]=4， [3.7]=4，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为
（A）3.71元 （B）3.97元 (C) 4.71元 (D) 4.24元
（11）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足
，
，
则△BCD是
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形
(C) 钝角三角形 (D) 以上都有可能
（12）函数
（
，
，
）的图象可能是
(A)
(B)
(C)
(D)
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷全部是非选择题，必须在答题区域内，用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，不能答在试卷上，否则答案无效.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
（13）若复数
，
，则
的模为__________．
（14）若
，则
=
.
（15）已知函数
，并且函数的最小值为
，则实数
的取值范围是
.
（16）在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分. 若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 （结果用数值表示）.
三、解答题: 本大题共有6题，满分74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分10分）
已知随机变量
的分布列为
|
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0.3 | 0.1 |
| 0.3 | 0.2 |
求实数a的值，并求
和
.
（18）（本小题满分12分）
已知函数
，
.
（Ⅰ）求的反函数
；
（Ⅱ）若函数过点
，则函数过点
吗？为什么？
（19）（本小题满分12分）
已知正三棱柱ABC—A1B
|
（Ⅰ）求正三棱柱ABC—A1B
（Ⅱ）求异面直线AB1与BC所成角的大小.
（20）（本小题满分12分）
如图，有甲乙两个村庄，甲村位于一直线河岸的岸边A处，乙村与甲村在河的同侧，乙村位于离河岸
元和
元. 现要进行工程费用测算.
（Ⅰ）求出水管总费用关于水厂C到D的距离的函数
关系式；
（Ⅱ）问自来水厂C建在何处，才能使水管总费用最
省？
（21）（本小题满分14分）
在以O为原点的直角坐标系中，点A（3，－1）为
的直角顶点. 已知AB=2OA，且点B的纵坐标大于零.
（Ⅰ）求向量
的坐标；
（Ⅱ）是否存在实数a，使二次函数
的图像上总有关于直线OB对称的两个不同的点？若不存在，说明理由；若存在，求a的取值范围.
（22）（本小题满分14分）
若数列{
}的通项
，设数列{
}的通项
，又记
是数列{}
的前n项的积．
（Ⅰ）求
，
，
的值；
（Ⅱ）试比较与
的大小，并证明你的结论．
高中毕业班质量检测（一）
数学 参考答案
一、B C B C D B A D B D A D
二、填空题：
13、
14、
15、
16、
三、解答题
17．[解]
由
得
………………………………………………..3分
………..6分
……………………………………………………………………….10分
18．[解](Ⅰ)由
…………………………………3分
-----------------------------------------------------------4分
……………………………………5分
…………6分
(Ⅱ)
…………………………………9分
…………………………………12分
19．[解]（Ⅰ）设正三棱柱的高为h，由AB=2及正三棱柱的性质知B
又
， ……………2分
即
，则正三棱柱的侧棱长为
.……4分
（Ⅱ）
…………………………………7分
，………………………………10分
而
……………………………………11分
∴异面直线AB1与BC所成角的余弦值为
…………………12分
20．[解]（1）设C到D的距离为xkm,
BD=
BC=
………………………2分
又设总的水管费用为y元，依题意有：
即
为所求函数关系式
…………………………………………………………………………………………..….6分
（2）
…………………………………8分
令
…………………………………10分
在（0，50）上，y只有一个极值点。根据实际意义，函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=
=20（km）
…………….12分
21．[解]（1）设
………………2分
得
……………………5分
所以v－1>0,得v=6,故=(2，6). …………………………………6分
（2）∵=(2，6),又A（4，－3），∴B点的坐标为（5，5）……………………8分
则直线OB的方程为y=x.
设P (x0,y0) 关于直线OB：y=x对称点为Q (y0, x0) ，
若点P、Q在二次函数图像上，则
得
……………………………10分
，
将
代入
中得
由题意得
………………………………12分
………………………………14分
故当
时，抛物线y=ax2－1上总有关于直线OB对称的两点.
22．[解]
（1）
…………………………………2分
……………………3分
………………………4分
（2）由（1）中可猜想得Tn＞；…………………………………6分
只须证明对于n∈N， 
成立
设n=1时，左=1+1=2，右=
，
∵2＞，故原不等式成立； …………………………………7分
假设n=k（k≥1）时，原不等式成立，即
，
当n=k+1时，不等式左边为
不等式的右边为
，
只须得出
＞，…………………………………10分
事实上
－
=
=
＞0，……………………………12分
故＞成立，从而
＞。
即n=k+1时不等式也成立，
∴对于n∈N，则有
成立。
…………………………………14分