高中毕业班数学质量检查（理）

高中毕业班数学质量检查

（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），全卷满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中发生了概率是P，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.

球的表面积公式，其中R表示球的半径.

球的体积公式，其中R表示球的半径.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设p、q是两个命题，则“复合命题p或q为真，p且q为假”的充要条件是　　　（　　）

　　　 A．p、q中至少有一个为真　　　　　　　　　　　B．p、q中至少有一个为假

　　　 C．p、q中中有且只有一个为真　　　　　　　 D．p为真，q为假

2．已知复数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　B．2　　　　　　　　　　　　C．2　　　　　　　　　D．8

3．已知a、b、c是三条互不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出四个命题：

　　①②a、 ③④.其中正确命题的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．1个　　　　　　　　　　B．2个　　　　　　　　　　C．3个　　　　　　　　　　D．4个

4．已知等差数列　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　D．

5．定义在R上的偶函数的x的集合为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　A．　　　　　　　　　　　　　　　　B．

　　C．　　 　　　　　　　　　　　　　　　　D．

6．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），若使目标函数z=ax+y(a>0)取最大值的最优解有无穷多个，则a的值等于（　　 ）

　　A．　　　　　　　　　　　　　B．1

　　C．6　　　　　　　　　　　　　　D．3

7．已知函数的值等于　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　A．　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　 C．4　　　　　　　　　　　　D．－4

8．若半径为R的球与正三棱柱的各个面都相切，则球与正三棱柱的体积比为　　　　 （　　）

　　A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　

　　C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

9．如果以原点为圆心的圆经过双曲线的焦点，而且被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率e等于　　　　（　　）

　　A．　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　D．

10．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD内的射影落在BC边上，若二面角C—AB—D的平面角大小为θ，则sinθ的值等于（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．

　　　 C．　　　　　　　　 D．

11．若函数的图象如右图所示，则

函数的图象大致为（　　）

A　　　　　　　　 B　　　　　  C　　　　　　  D

12．已知函数有以下四个函数：①②③

④

　　其中满足f (x)所有条件的函数序号为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．①②　　　　　　　　　 B．②③　　　　　　　　　 C．②④　　　　　　　　　 D．①④

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分

13．展开式中的常数项为　　　　　  .

14．如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8n mile.此船的航速是　　　　　  n mile/h.

15．若不等式　　　　  .

16．如图，从点发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向此抛物线上的点P，反射后经焦点F又射向抛物线上的点Q，再反射后沿平行于抛物线的轴的方向射向直线再反射后又射回点M，则

　　x₀=　　　　　　　 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

 

18．（本小题满分12分）

　　抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功.

（Ⅰ）求一次试验中成功的概率；

（Ⅱ）求在4次试验中成功次数ξ的概率分布列及ξ的数学期望与方差.

19．（本小题满分12分）

　　如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点.

（Ⅰ）求证：EF⊥CD；

（Ⅱ）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；

（Ⅲ）求DB与平面DEF所成角的大小.

20．（本小题满分12分）

　　某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区.已知AB⊥BC，OA//BC，且AB=BC=2AO=4km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1km²）.

21．（本小题满分12分）

　　如图，已知在坐标平面内，M、N是x轴上关于原点O对称的两点，P是上半平面内一点，△PMN的面积为

（Ⅰ）求以M、N为焦点且过点P的椭圆方程；

（Ⅱ）过点B（－1，0）的直线l交椭圆于C、D两点，交直线x=－4于点E，点B、E分

　　　、，求证：.

22．（本小题满分14分）

　　已知一列非零向

（Ⅰ）证明：是等比数列；

（Ⅱ）求向量

（Ⅲ）设一列，记为为坐标原点，求点列{B_n}的极限点B的坐标.

（注：若点B_n坐标为的极限点.）

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数　学（理科）参考答案及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.

1．C　2．C　3．B　4．D　5．D　6．B  7．D　8．B　9．D　10．A　11．A　12．B

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.

13．　　　 14．32　　　 15．16　　　 16．6

三、解答题：

17．本小题主要考查三角函数的基础知识，以及换元配方法，分类讨论思想方法和运算能力，满分12分.

①

……7分

②

综上,……12分

18．本小题主要考查概率及其基础知识和运算能力，满分12分.

解（Ⅰ）一次实验中，设事件A表示“试验成功”，则

……4分

（Ⅱ）依题意得：

ξ	0	1	2	3	4
P

……………………………………………………………………………………8分

………………12分

19．本小题主要考查空间线面关系，考查空间想象能力和推理论证能力，满分12分.

解法一：

（Ⅰ）（证法一）

（证法二）取BD的中点O，连结FO、OE.

（Ⅱ）答：G是AD的中点.…………5分

（方法一）取PC的中点H，连结DH.

（方法二）取AD中点G，连结PG、GB、GF.

≌

（Ⅲ）设B到平面DEF的距离为d.

解法二：

以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），设AD=a，则

D（0，0，0）、A（a,0,0）、B(a,a,0)、C(0,a,0)

、、……2分

（Ⅰ）

……4分

（Ⅱ）

（Ⅲ）设平面DEF的法向量为

20．本小题主要考查运用数学知识解决实际问题的能力，并在建立数学模型和解题过程中，考查导数知识和运算能力,满分12分.

解法一：以O为原点，OA所在直线为y轴建

立直角坐标系如图，依题意可设抛物线方程为

，

故曲线段OC的方程为………………3分

设是曲线段OC上的任意一点，

则在矩形PQBN中，，………………5分

工业区面积，…………6分

即：………………7分

当的增函数；………………8分

当的减函数；………………9分

时，S取到极大值，此时

……………………10分

……………………11分

答：把工业园区规划成长为，宽为的矩形时，工业园区的面积最大，

最大面积约为9.5km².…………………………12分

解法二：由解法一得：曲线段OC的方程为…………3分

设是曲线段OC上的任意一点，

则在矩形PQBN中，………………5分

∴工业区面积…………6分

.

……………………7分

当的增函灵敏；……………………8分

当时，的减函数，………………9分

时，S取到极大值，此时，

………………10分

……………………11分

答：把工业园区规划成长为的矩形时，工业园区的面积最大，最大面

积约为.…………………………12分

21．本小题主要考查平面向量的概念、直线与椭圆的方程性质以及综合运用所学知识分析、

解决问题的能力. 满分12分.

解：（1）设

则

　　① 又 ②…………2分

　 由已知

即　　③

将①②代入③，　　

　…………………………4分

设椭圆方程为在椭圆上，

∴椭圆方程为：……………………6分

（2）①当l的斜率不存在时，无交点，

不合题意.

②当的斜率存在时，设方程为，

代入椭圆方程

化简得：……8分

设点、，则：

，

………10分　

而

，　　…………12分

22．本小题主要考查数列、平面向量、极限等基础知识，考查综合应用数学知识，直觉猜想，

归纳推理及运算能力. 满分14分.

解：（1）

………………2分

首项为常数， 是等比数列.………3分

（2）

，…………………………5分

，

的夹角为………………7分

（3）

　　  …　 ……8分

一般地，

用数学归纳法易证成立.………………10分

……………………11分

设

　　　　　　　　　

∴极限点B的坐标为………………………………14分