高三数学调研考试

高　三　数　学

高三数学调研考试

　　一、选择题

　　1、若函数y=2^x的定义域是P={1，2，3}，则该函数的值域是

A、{2，4，6}　　 B、{2，4，8}　　 C、{1，2，log₃2}　　 D、{0，1，log₂3}

2、等比数列{a_n}中，T_n表示前n项的积，若T₅=1，则

A、a₁=1　　　　  B、a₃=1　　　　　 C、a₄=1　　　　  D、a₅=1

3、设a+b<0，且b>0，则

A、b²>a²>ab　　　 B、a²<b²<-ab　　　C、a²<-ab<b²　　　D、a²>-ab>b²

4、为得到函数y=cosx的图象，可用来对函数y=cos(x-)作平移的向量是

A、(，0)　　　 B、(-，0)　　  C、(-，0)　　　 D、(，0)

5、在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将菱形沿对象线AC折起，使折起后BD=1，则二面角B—AC—D的余弦值为

A、

B、

C、

D、

6、一动圆圆心在抛物线x²=4y上，过点(0，1)且恒与直线相切，则直线的方程为

A、x=1　　　　　 B、　　　　C、y=-1　　　　  D、

7、已知a,b,c是空间三条直线，α、β是两个平面，则下列命题中不正确的是

　　A、若a//b，b//α，则a//α或aα

B、若a⊥α，b⊥β，α//β，则a//b

C、若a//b，α//β，则a与α所成的角等于b与β所成的角；

D、若a⊥b，a⊥c，则b//c

8、不等式x+log₃x<x+log₃x的解集为

A、(0，1)　　　　B、(1，+∞)　　　　C、(0，+∞)　　　D、(-∞，+∞)

9、5名同学去听同时进行的四个课外知识讲座，每位同学可自由选择听其中1个讲座，则不同选法种数是（　　）

A、5⁴　　　　B、4⁵　　　　　 C、5×4×3×2　 　　D、

10、椭圆上一点P到两焦点的距离之积为m，当m取最大值时，P点的坐标是

A、(5，0)，(-5，0)　　　　　　  B、(，)，(，-)

C、(，)，(-，)　　D、(0，3)，(0，3)

11、已知y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示

则函数F(x)=f(x)·g(x)的图象可以是

　　12、定义运算a*b为：a*b=，例如，1*2=1，则1*2^x的取值范围是

A、(0，1)　　　　 B、(-∞，1]　　 C、(0，1]　　　D、[1，+∞]

二、填空题

13、函数f(x)=x²-tx+2在[1，2]上有反函数，则t的一切可取值的范围是　　　　。

14、甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)

甲	10	8	9	9	9
乙	10	10	7	9	9

如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的应是　　　　 。

15、已知x、y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是　　　　。

16、下列四个命题

①函数f(x)=x+的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)；

②已知命题p与命题q，若p是q的充分不必要条件，则是的充分不必要条件；

③二项式(a+b)⁴的展开式中系数最大的项为第3项；

④方程x+y=1的曲线围成的图形的面积是4。其中正确命题的序号是　　　　(把你认为正确的序号都填上)

三、解答题

17、同时抛掷15枚均匀的硬币一次

(1)试求至多有1枚正面向上的概率；

(2)试问出现正面向上为奇函数的概率与出现正面向上为偶函数枚的概率是否相等？请说明理由。

18、已知：A、B是△ABC的两个内角，，其中、为互相垂地的单位向量。若=，试求tanA·tanB的值。

19、如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=4,∠BAC=90°，侧面ABB₁A₁为正方形，D为正方形ABB₁A₁的中心，E为BC的中点。

(1)求证：平面DB₁E⊥平面BCC₁B₁；

(2)求异面直线A₁B与B₁E所成的角。

20、某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K(K>0)，货款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放货出去。

(1)若存款的利率为x，x∈(0，0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息(x)；

(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？

21、已知函数f(x)=a₀+a_1=x+a2_x²+a₃x³+…+a_nxⁿ(n∈Nⁿ)，且y=f(x)的图象经过点(1，n²)，数列{a_n}(n∈N⁺)为等差数列。

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)当n为奇函数时，设g(x)=,是否存在自然数m和M，使不等式m<g()<M恒成立，若存在，求出M-m的最小值；若不存在，说明理由。

22、已知=(x,0)，=(1，y)

(1)求点P(x，y)的轨迹C的方程；

(2)若直线：y=kx+m(km≠0)与曲线C交于A、B两端，D(0，-1),且有AD=BD，试求m的取值范围。

【参考答案】

　　一、选择题

　　

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	B	B	D	C	A	C	D	A	B	D	A	C

二、填空题

13、(-∞，-2][4，+∞)　　  14、甲　　　 15、3　　  16、①③

三、解答题

17、(1)　　　 (2)相等。

18、

19、(1)证明：延长B₁D至A，连结AE

∵三棱柱为直三棱柱，∴平面BCC₁B₁⊥平面ABC　又△ABC中AB=AC，E为AB中点　　

∴AE⊥BC　 ∴AE⊥平面BCC₁B₁

又∵AC平面B₁DE　　 ∴平面B₁DE⊥平面BCC₁B₁

(2)

20、(1)由题意，存款量g(x)=Kx²，银行应支付的利息

　　　　  h(x)=x·g(x)=Kx³⁶

　 (2)存款利率为3.2%时，银行可获得最大利益

21、(1)据题意：f(1)=n²　 即a₀+a₁+a₂+……+a_n=n²

　　令n=1 则a₀+a₁=1，a₁=1-a₀

　　令n=2 则a₀+a₁+a₂=2²，a₂=4-(a₀+a₁)=4-1=3

　　　  令n=3 则a₀+a₁+a₂+a₃=3²，a₃=9-(a₀+a₁+a₂)=9-4=5

　　　 ∵{a_n}为等差数列　 ∴d=a₃-a₂=5-3=2

　　　　a₁=3-2=1　 a₀=0　　a_n=1+(n-1)·2=2n-1

　　　 (2)由(1)f(x)=a₁x¹+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ

　　　 n为奇数时，f(-x)=-a₁x¹+a₂x²-a₃x³+…+a_n-1x^n-1-a_nxⁿ

　　　 g(x)=

　　　

　　　

　相减得

∴

 令　　∵

∴C_n+1≤C_n，C_n随n增大而减小

又随n增大而减小

∴g()为n的增函数，当n=1时，g()=

而　　

∴使m<g()<M恒成立的自然m的最大值为0，M最小值为2。

M-m的最小值为2。

22、解：（1）

　　　　　　　

　　　　∵　　　∴=0

　　　　∴　　 得

　　　　∴P点的轨迹方程为

（2）考虑方程组　 消去y，得(1-3k²)x²-6kmx-3m²-3=0(*)

　显然1-3k²≠0　　　　 △=（6km）²-4(-3m²-3)=12(m²+1)-3k²>0

　　　设x₁,x₂为方程*的两根，则

　　　　　　　

　　 故AB中点M的坐标为(，)

∴线段AB的垂直平分线方程为：

将D(0，-1)坐标代入，化简得：4m=3k²-1

故m、k满足，消去k²得：m²-4m>0

解得：m<0或m>4

又∵4m=3k²-1>-1　　 ∴m>-

故m.