高三数学试卷（一）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（ ）
1.定义A－B={xx∈A,且x B}，若A={1,3,5,7,9},B={2,3,5}则A－B等于
A．A B．B C．{2}
D．{1，7，9}
２．幂函数的图象过点（２, ），则f--1(4)的值为（ ）
A．16
B．2 C． D．
3.（理科）若A为△ABC的最小的内角，则sinA+cosA的取值范围是
Ａ．（0，2） B．（１， ） C．（１， ）
D．（０， ）
(文科)y= 的最小正周期是（ ）
A．
B． C． D．
4.设z1、z2是复数,argz1=α,argz2=β,则arg(z1·z2)有可能是下列情况中的哪些（
）
①α+β ②α+β－2π ③2π－(α+β) ④α+β+π
A．①
B．①②
C．①②③
D．①②④
5.如果a、b是异面直线，给出以下四个结论：①过空间内任何一点可以作一个和a、b都平行的平面 ②过直线a有且只有一个平面和b平行 ③有且只有一条直线和a、b都垂直 ④过空间内任何一点可以做一条直线和a、b都相交，则正确的结论是（
）
A．② B．②③ C．②③④ D．①②③
6.设f(x)=3ax－2a+1，若存在x0∈(－1,1)，使得f(x0)=0，则实数a的取值范围是（ ）
A．－1＜a＜
B．a＜－1 C．a＜－1或a＞
D．a＞
7．商店某种货物进价下降8%，但销售价没变，于是这种货物的销售利润率［（销售价－进价）÷进价×100%］由原来的r%增加到(r+10)%,那么r的值为（ ）
A．12 B．15 C．25 D．50
8.(理科)若a＞0,b＞0，且a+2b=3,则
的最小值为（ ）
A．2 B． C． Ｄ．
(文科)若a>0,b>0,则不等式a> >－b的解集为（ ）
A．（－ ，0） （0， ）
B．（－ ，0） （0， ）
C．（-∞，－ ） （ ，+∞） D．(－ ， )
9.设函数f(x)= (x≤0)，则函数y=f--1
(x)的图象是
10.甲：函数y=lg 是奇函数
乙：若2sinx=1+cosx则tg 必为
丙：函数y= 的值域为[－ ， ]
丁：ab≠0，则acos +bsin =
以上命题中，真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11.设n∈N,二次函数y=n(n+1)x2－(2n+1)x+1的最小值为an，则
(a1+a2+…+an)等于（ ）
A． １ B． C．1 D．－1
12.过x2+y2=10x内一点（5，3）有n条弦，它们的长度构成等差数列，最小弦长为数列首项a1，最长的弦长为数列的末项an，若公差d∈[
],则n的取值范围是（ ）
A．n=4 B．n=5≤n≤7 C．n＞7 D．n∈R+
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
注意事项：
1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．
13．设(1+x)+(1+x)2+……+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a2x2+……+anxn, 如果a0+a1+a2+……+an=510，那么____________.
14.如果抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=－3.则这条抛物线的焦点坐标是__________________.
x=2－3t
15.（理科）点P（x, y）为 上的动点,则点P(x, y)与点M(2,-1)的距离为______________
y=－1+3t
(用参数t表示)。
（文科）y=（4－3sinx）·（4－3cosx） 的最小值为_________________.
16.已知三个不同的点A（x1,y1）、B(x2,y2)、C(x1-x2,y1—y2)和坐标原点O（0，0）连结这四个不同的点构成的图图OABC给出下列四种可能情况：
①平行四边形 ②梯形 ③线段 ④直线
其中可以成立的是____________________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且
D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.
(1) 求证PQ∥平面CDD1C1；
(2) 求证PQ⊥AD；
(3) 求线段PQ的长.
18.(本小题满分12分)
设z1和z2是两个不等的非零复数，在复平面上z1+z2和z1－z2所对应的点为A和B,试证：
(1) 若∠AOB= (O为原点)，(2) 则∣z1∣=∣z2∣
(3) 若 = , 则
是一个负数.
19.(本小题满分12分)
已知函数f(x)= ，x∈[1,+∞).
（1） 当a= 时,求函数f(x)的最小值；
（2）若对任意x∈［1,+∞),使得f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围.
20.(本小题满分12分)
设a＞0,f(x)= ,令a1=1,an+1=f(an),n∈N,又令bn=an·an+1,n∈.N
(1) 写出a2、a3、a4的值，(2) 并猜想出数列{an}的通项公式；
(3) 请用数学归纳法证明你的结论；
(4) 求数列{bn}的所有项的和.
21.(本小题满分12分)
某种汽车：（1）购买时费用为10万元；（2）每年应交保险费、养路费及汽油费共9000元；
（3）汽车的维修费第一年2000元，第二年4000元，第三年6000元，依次成等差数列逐年递增，问这种汽车使用多少年报废最合算.(即使用多少年的年平均费用最少)
22.(本小题满分14分)
设抛物线过定点A（0，2）且以x轴为准线.
（1） 试求抛物线的顶点M的轨迹C的方程；
（2）如果点P（a,1），不在线段y=1(－2≤x≤2)上，那么，当a取何值时，过点P存在一对互相垂直的直线同时与曲线C各有两个交点？
参考答案
一、1 .D 2.D 3.(理)B (文)B
4.C 5.A 6.C
7.B
8.(理)D（文）C
9.D 10.A
11.B 12.B
二、13. 36 14.(1,0)
15.(理) （文）
16.①③
三、17.（1）证明：在平面AD1内，作PP1∥AD与DD1交于点P1，在平面AC内，作1∥BC交CD于点Q1，连结P1Q1，∵ ∴PP1 1 (2分)
四边形P1P1为平行四边形
∴PQ∥P1Q1
而P1Q1 平面CDD1C1， ∴PQ∥平面CDD1C1（4分）
（2）证明：AD⊥平面D1DCC1， ∴AD⊥P1Q1，（6分）
又∵PQ∥P1Q1， ∴AD⊥PQ（8分）
（3）解：由（1）知P1Q1 PQ,(9分)
，而棱长CD=1. ∴DQ1= （10分） 同理：P1D= （11分）
在Rt△P1DQ1中，P1Q1= （12分）
18（1）证明：∵∠AOB= ,
∴z1－z2=ai(z1+z2)(a∈R, a≠0)(2分)
∴（1－ai）z1=(1+ai)z2(4分)
∴ = = ， z1=z2 (6分)
（2）解：∵ = ,∴z1－z2=z1+z2（7分）
设复数z1,z2对应的点Z1、Z2，则有 （9分）
复数z1与z2的关系是z1=biz2(b∈R ,b≠0)(10分)
∴ =bi, ∴ (12)分
即 是一个负实数
19（1）解：当a= 时，f(x)=x+ +2, x∈[1,+∞) (1分)
设1≤x1＜x2,f(x1)=x1+
+2 f(x2) =x2+
f(x2)－f(x1)=x2－x1+ =(x2－x1) (3分)
∵1≤x1＜x2 ∴x2－x1＞0 x1·x2＞0 2x1·x2－1＞0
∴f(x2)－f (x1)＞0
f(x2)＞f(x1)
∴f(x)=x+ +2在［1,+∞)上是增函数（4分）
∴当x=1时，函数取得最小值 （6分）
（2）解：要使f(x)＞0恒成立，x∈[1,+∞]
∴只须分子x2+2x+a＞0在x∈[1,+∞]上恒成立（7分）
∴a＞－(x2+2x)在x∈[1,+∞]上恒成立
∴a只需大于函数－(x2+2x)在x∈[1，+∞]的最大值.(9分)
而二次函数－(x2+2x)在x∈[1，+∞]上的最大值为－3，
∴a＞－3 即适合题设条件的实数a的取值范围是（－3，+∞）(12分)
20.(1)解：a1=1, a2=f(a1)=f(1)= ,
a3=f(a2)= (2分)
猜想an= (n∈N)(4分)
（2）证明：（i）当n=1时，a1=1,公式成立（5分）
（ii）假设当n=k(k∈N)时，公式成立
即ak= (6分)
当n=k+1时，
ak+1=f(ak)= =
这就是说，当n=k+1时，公式也成立
根据（i）和（ii）可知an= (n N成立（8分）
(3)解:bn=an (10分)
∴ (11分)
(12分)
21.解：设f(n)是该汽车使用的n年报废时平均每年的费用（单位：万元）（1分）
则f(n)= (6分)
≥（ 10分）
当且仅当 ,即n=10时，f(n) min=3，故该汽车使用10年后报废最合算.（12分）22.（1）解：设抛物线顶点M（x, y）,则焦点F（x,2y）(3分)
由抛物线性质可得：2= (5分)
化简整理得： (7分)
（2）解：设两直线方程分别为：y－1=k(x－a)
y－1=－ (x－a)(9分)
代入方程
由Δ1＞ (11分)
Δ2＞0 (12分)
令4+ (13分)
又P（a,1）不在线段y=1(－2≤x≤2)上，∴a＜－2或a＞2
∴a (14分)