高三年级数学综合练习三
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3至8页。共150分。考试时间120分钟。
第I卷（选择题共50分）
注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
三角函数的和差化积公式
正棱台、圆台的侧面积公式
其中c′、c分别表示上、下底面周长， l表示斜高或母线长
台体的体积公式
其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）下列集合中表示空集的是
（A）{0} （B）
（C）{x ctgx = 0} （D）
（2）（理）
的值是
（A）
（B）
（C）
（D）
（文）已知
，
，那么ctgθ的值等于
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）已知
，且f（-1）=0，那么
的值是
（A）0 （B）1
（C）-1 （D）
（4）（理）已知点A，B的极坐标分别是
，（8，
），那么线段AB的中点C的极坐标可以是
（A）（4，
） （B）（4，
）
（C）（4，
） （D）（4，）
（文）若
，
，则A，B两点间的距离为
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）将一张坐标纸折叠一次，使得点（0，2）与（-2，0）重合，且点（2002，2003）与点（m，n）重合，则m-n 的值为
（A）1 （B）-1
（C）0 （D）-2
（6）已知直线a、b和平面M、N，且a⊥M，那么
（A）b∥M
b⊥a （B）b⊥a b∥M
（C）N⊥Ma∥N （D）
（7）从不同品牌的4台快译通和不同品牌的5台录音笔中任意抽取3台，其中至少要有快译通知录音笔各1台，则不同的取法共有
（A）140种 （B）84种
（C）70种 （D）35种
（8）若复数z与它的共轭复数
满足
，
，则
的最大值是
（A）
（B）
（C）
（C）2
（9）若当P（m，n）为圆
上任意一点时，不等式m+n+c≥0恒成立，则c的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）已知
是棱长为a的正方体，P是
上的定点，Q是
上的动点，长为b（b是常数，0 < b < a）的线段EF在棱AB上滑动，那么四面体PQEF的体积是
（A）常量 （B）变量且有最大值
（C）变量且有最小值 （C）变量且有最大值也有最小值
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
（11）已知椭圆
与
有相同的离心率e，那么m的值为___________.
（12）设等差数列
的前n项和为
，若
，则
的值是_________。
（13）如图，直三棱柱
中，P、Q分别是侧棱
、
上的点，且
，则四棱锥
的体积与多面体
的体积的比值为________。
第（13）题图
（14）已知函数
，若
，且
，那么
的值是_______________。
三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题满分13分）
解关于x的不等式
（a>0，a≠1）。
（16）（本小题满分13分）
设函数
（x≠1，a>b）。
（I）求f（x）的反函数
；
（Ⅱ）判断在（-b，+∞）上的单调性并用函数单调性定义加以证明。
（17）（本小题满分14分）
某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用为每日115元。根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出去的自行车就增加3辆。
为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费后的所得）。
（I）求函数y = f（x）的解析式及其定义域；
（Ⅱ）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？
（必要时可参考以下数据：
）。
（18）（本小题满分14分）
如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上的一点，若A在PC，PB上的射影为D、E。
（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBC；
（Ⅱ）若PA=AB=2，∠BPC=θ，试用tgθ表示△ADE的面积，当tgθ取何值时，△ADE面积最大，最大面积是多少？
第（18）题图
（19）（本小题满分15分）
已知抛物线方程为
（p >0），直线l：x+y=m过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3。
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）是否存在点M，使过点M的斜率不为零的任意直线与抛物线交于P、Q两点，并且以PQ为直径的圆恰过抛物线的顶点？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由。
（20）（本小题满分15分）
若和
分别表示数列和
的前n项的和，对任意正整数n，
，
。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）在平面直角坐标系内，直线
的斜率为
，且与曲线
有且仅有一个交点，与y轴交于点
，记
，求
；
（Ⅲ）若
，求证：
。
高三年级综合练习三
数学参考答案及评分标准
一、（1）D（2）B（3）A（4）C（5）B（6）A（7）C（8）A（9）D（10）A
二、（11）4或1（12）0（13）
（14）0
三、（15）解：原不等式即
。…………………1分
①当a>1时，原不等式等价于
。……6分
②当0<a<1时，原不等式等价于
。……11分
∴当a>1时，原不等式的解集为{xx>3}，
当0<a<1时，原不等式的解集为{x1<x<3}。……………………13分
（16）解：（I）设
则有y-xy=bx-a。
（b+y）x=y+a
∴
，……………………5分
即
，………………6分
（Ⅱ）在（-b，+∞）是单调递减函数。证明如下：
任取
，
，且
。
。……………………11分
∵a>b，∴a-b>0。
∵
，
∴
，
，
。
∴
，即
。
故在
上是单调递减函数。…………………………13分
（17）解：（I）当x≤6时，
y=50x-115。………………2分
令50x-115>0。解得x>2.3。
∵x∈N，∴x≥3。
∴3≤x≤6，x∈N。……………………3分
当x>6时，
y=[50-3(x-6)]x-115。…………………………5分
令[50-3（x-6）]x-115>0，
有
。
上述不等式的整数解为
。
∴6<x≤20。（x∈N）……………………6分
故
定义域为3≤x≤20，x∈N…………………………8分
（Ⅱ）对于y=50x-115（3≤x≤6，x∈N）。显然当
x=6时，
（元）……………………9分
对于
（6<x≤20，x∈N）。………………………………11分
当x=11时，
（元）。…………………………13分
综上所述当每辆自行车日租金定在11元时，才能使一日的净收入最高。……………………14分
（18）（I）证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
又AB是圆O直径，C是圆周上一点，
∴AC⊥BC。
∵
，
∴BC⊥平面PAC。……………………4分
又
平面PAC，
∴BC⊥AD。
由已知AD⊥PC，
又
，
∴AD⊥平面PBC。……………………7分
（Ⅱ）解：在Rt△PAB中，PA=AB=2，
∵E是A点在PB上的射影，
∴
。……………………8分
由（I）AD⊥平面PBC，
AE⊥PB于E，
∴PB⊥ED，则
。……………………10分
在Rt△ADE中，
。……………………11分
。……………………………13分
当且仅当
，即
时
最大，最大面积是。……………………14分
（19）解：（I）设l与抛物线交于
，
则AB=3。
由距离公式
则有
.……………………3分
由
消去x，得
。………………………………4分
。
∴
，
。……………………5分
从而
，
即
。……………………6分
由于p>0，
解得
。…………………………7分
（Ⅱ）设过M点的直线为
，
，
。消去x，得
。……………………9分
。
，
。……………………10分
由题意，
即
∴
。
∴n=-1，
。……………………12分
当n=-1时，由题设知a≠0，故△>0，此时动直线为x=ay-1，过定点（-1，0）。而（-1，0）是抛物线
的顶点。不合题意。
当时，△>0，此时动直线为
，过定点
。…………………14分
故存在点
满足条件。……………………15分
（20）（I）解法（一）由已知
。
当n=1时，
。……………………1分
当n≥2时，
由于。
∴
。……………………4分
由于
适合上式，
∴
。……………………5分
解法（二）由于，则为等差数列，
。
。………………1分
∴
。……………………2分
当n=1时，
，……………………3分
当n≥2时，
=-6n-2。……………………4分
由于适合上式，∴。……………………5分
解：（Ⅱ）设的方程为
。
由
消去y，得
。……………………7分
∵直线与曲线只有一个交点，
∴△=0，即
。
∴
。
则
。…………………………8分
从而
=6n+5-(2n+7)
=4n-2。
∴
。…………………………10分
（Ⅲ）∵
。…………………………12分
∴
。……………………14分
∴
。……………………15分