高三期末数学测试试题
一．选择题（本大题共12个小题,毎小题5分,共60分.毎小题只有一个正确答案）
1．已知复数z1=1-i，z2=
+i，则z=
在复平面内对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若向量
则
一定满足( )
A．的夹角等于
B．
⊥
C．
∥
D．⊥
3．函数
是奇函数的充要条件为（ ）
A．b=0 B．a=0 C.ab=0 D．a2+b2=0
4．一个凸多面体的顶点数为20，棱数为30。则它的各面多边形的内角总和为（ ）
A、2160° B、5400° C、6480° D、7200°
5．若动点P、Q是椭圆9x2+16y2=144上的两点，O是其中心，若
，则中心O到线段PQ的距离OH必为（ ）
A、
B、
C、
D、
6．对函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)作x=h(t)的代换，则不改变函数f(x)值域的代换是（ ）
A、h(t)=10t B、h(t)=t2 C、h(t)=sint D、h(t)=log2t
7.设A是原命题，
是A的否命题.若B是的必要非充分条件，那么A是
的( )
A、充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件
8．如果一个平面与一个正方体的十二条棱所在的直线都成相等的角，记作θ，那么sinθ的值为（ ）
A、
B、
C、
D、1
9．设F1，F2是双曲线
的两个焦点，点P在双曲线上，且
，则
的值等于（ ）
A．2 B．
C．4 D．8
10．已知数列
的通项公式
，设其前
项和为
，则使
成立的自然数
（ ）
A．有最小值63 B．有最大值63
C．有最小值31 D．有最大值31
11．已知f(x)=x2+ax-3a-9,对任意x
R,恒有f(x)
0,则f(1)的值等于（ ）
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
12．定义运算a*b为：a*b=
，例如，1*2=1，则1*2x的取值范围是（ ）
A、(0，1) B、(-∞，1] C、(0，1] D、[1，+∞)
二．填空题（毎小题4分，共16分）
13.如果不等式
和
同时成立, 则
的取值范围是 .
14．已知数列
满足：
，则使
成立的的值是 ．
15．已知x、y满足约束条件
，则z=2x+y的最大值是 .
16．有一组数据：
，它们的算术平均值为10，若去掉其中最大的
，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的
，余下数据的算术平均值为11。 则关于n的表达式为___________；关于n的表达式为___________。
三．解答题（本大题共6个小题，共74分要有必要的步骤） 17.( 本题满分12分)已知函数
（1）求
的最小正周期；
（2）求的单调递减区间；
（3）(理做文不做)函数的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数？
18．（本题满分12分）如图，PA⊥矩形ABCD所在平面，PA=AD=a，M，N分别是AB，PC的中点。
（1）求证：平面MND⊥平面PCD；
（2）若AB=
，求二面角N-MD-C的大小。
19．(本题满分12分)已知数列
成等差数列，
表示它的前项和，
且
，
.
⑴求数列的通项公式
；
⑵数列
中，从第几项开始(含此项)以后各项均为正数?
20．（本小题满分12分）
经市场调查分析知，某地明年从年初开始的前n个月，对某种商品需求总量f（n）（万件）近似地满足下列关系：
（n=1，2，3，…，12）
（1）写出明年第n个月这种商品需求量g（n）（万件）与月份n的函数关系式，并求出哪几个月的需求量超过1.4万件；
（2）若计划每月该商品的市场投放量都是p万件，并且要保证每月都满足市场需求，则p至少为多少万件?
21．（本题满分12分）已知
=(x,0)，
=(1，y)，
(1)求点P(x，y)的轨迹C的方程；
(2)若直线
：y=kx+m(km≠0)与曲线C交于A、B两点，已知D(0，-1),且有AD=BD，试求m的取值范围。
22．（本题满分14分）借助计算机（器）作分段函数时，分段函数的表示可利用“函数”
，例如要表示分段函数
,可将g(x)表示为
设
，
（1） 请将函数
写成分段函数的形式；
（2） 填写下表并画出函数的大致图像；(见答案卷)
（3） 设
，是否存在实数
，使
为奇函数？若存在，试求出的所有取值；若不存在，请说明理由。
（2）
|
| …… | －2 | －1 | 0 | 1 | 2 | 3 | …… |
| y | …… |
|
|
|
|
|
| …… |
期末数学参考答案
一．选择题
D B D C C D B B A A B C
二．填空题
13．
14。21
15. 3 16. 11-n；n+9
三.解答题
⒘（1）由
由
……2分
……6分
函数的最小正周期T=
……7分（2）由
∴的单调递减区间是
.
……10分
（3）
，
∴奇函数
的图象左移
即得到的图象，
故函数的图象右移个单位后对应的函数成为奇函数.
……12分
（注：第Ⅲ问答案不唯一）
18. （1）∵M、N分别是AB、PC的中点，可得
由于
,………2分
及
,…4分
∴MN⊥CD,又MN⊥DP, ∴MN⊥平面PCD, ∴平面MND⊥平面PCD.………6分
（2）底面的法向量为
，设平面MN的法向量为
,…7分
,∴
.
,∴
.
∴
,………………………………………………………9分
∴
,…………11分
∴二面角N-MD-C的大小为60°.………………………………………………12分
19（本小题满分12分）
⑴设数列的公差为
，由已知
…… 4分
………………………………………………6分
⑵
……………………………7分
解不等式
，得
…………………………… 8分
∵
，∴
∴
，或
………………………………………………………… 11分
故从第8项开始以后各项均为正数. …………………………………………12分
20. （本题满分12分）
解：（Ⅰ）当n=1时，
；……………………2分
当
时，
（经检验对n=1也成立）
∴
………………………………5分
解不等式
得5<n<7
∵
，∴n=6。
即第6个月的需求量超过1.4万件。………………………………7分
（Ⅱ）由题设可知，对于n=1，2，…，12恒有：
，
即
…………………………………………9分
当且仅当n=8时，
∴每月至少投放1.14万件。…………………………………………12分
21解：（1）
……………………2分
∵
∴
=0
∴
得
…………4分
∴P点的轨迹方程为………………………………………6分
（2）考虑方程组
消去y，得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0(*)
显然1-3k2≠0 △=（6km）2-4(-3m2-3)=12(m2+1)-3k2>0…………7分
设x1,x2为方程*的两根，则
故AB中点M的坐标为(
，
)
∴线段AB的垂直平分线方程为：
将D(0，-1)坐标代入，化简得：4m=3k2-1
故m、k满足
，消去k2得：m2-4m>0
解得：m<0或m>4………………………………………………………………10分
又∵4m=3k2-1>-1 ∴m>-
……………………………………………11分
故m
.………………………………………………………12分
22，解:(1)
,…………………………………………………2分
(2)略. …………………………………………………………………………4分
(3)设存在实数k,使为奇函数,则必有
… 5分
①当
时,由
得,
.
②当
时,由
得
(舍), 
……………8分
证明:(i)当
时,有
设a为任意实数,当
时,
当
时,显然有
, 当
时,
所以,对任意实数a都有,即当时是奇函数……………10分
(ii)当
时,
,
所以当时,不是奇函数.…………………………………………………12分
(iii)当
时,也不是奇函数………………………………………………14分.
注:解(3)时若直接给出当时,是奇函数然后证明得10分若在指出
时,不是奇函数得11分.