高三第一次模拟数学试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页，第II卷3至8页，共150分钟，考试时间120分钟。
第I卷（选择题 共60分）
一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的选项填在题后括号内）
1. 已知映射：
，其中集合A={
}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的
在B中和它对应的元素是 a ，则集合B中元素的个数是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2. 已知复数Z，若
，则M是（ ）
A. M={虚数} B. M={实数}
C. {实数}
M {复数} D.
M={复数}
3. 已知等差数列
满足
，则有（ ）
A. 
B.
C. 
D.
4. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中
（1）BM与ED平行 （2）CN与BE是异面直线
（3）CN与BM成
（4）DN与BN垂直
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
A. （1）（2）（3） B. （2）（4）
C. （3）（4） D. （2）（3）（4）
5. 设
，
，则
的大小关系是（ ）
A. 
B.
C.
D.
6. 已知
，函数
在
上是单调增函数，则a的最大值是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
7. 锐角三角形中，
分别是内角A，B，C的对边，设B=2A，则
的取值范围是（ ）
A. 
B.
C.
D.
（0，2）
8. 路灯距地平面为8m，1个身高为1.6m的人以84米/分的速率在地平面上，从路灯在地平面上的射影C，沿某直线CD离开路灯（如图）
那么人影长度的变化速率
为（ ）米/秒
A. 
B. 
C. 
D. 
9. 如果
是两个不相等的正整数，则
等于（ ）
A. 
B.
C.
0 D.
1
10. 双曲线
的离心率
，点A与F分别是双曲线的左顶点和右焦点，B（0，b），则
等于（ ）
A. 
B.
C.
D.
11. 一天内的不同时刻，经理把文件交给秘书打字，每次都将文件放在秘书文件垛的最上面，秘书有时间就将文件垛最上面的文件取来打，若经理将5份文件在不同时刻按（1）
（2）（3）（4）（5）的顺序交来，则秘书的打字顺序不可能是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
12. 已知且
，
，当
时均有
，则实数a的取值范围是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
第II卷（非选择题 共90分）
二. 填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
13. 圆
在不等式组
所表示的平面区域中所占的面积为________。
14. 从6台原装计算机和5台组装计算机中任选5台，其中至少有原装和组装计算机各两台的概率是________。
15. 有三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面相内切，第二球与正方体各条棱相切，第三个球过正方体各顶点，则这三个球的面积之比为________。
16. 设函数
，给出以下四个结论：
（1）它的周期为
：（2）它的图象关于直线
对称；（3）它的图象关于点
对称；（4）在区间（
，0）上是增函数。
以其中两个论断作为条件，另两个论断作结论写出你认为正确的一个命题_________
三. 解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答应写出文字说明演算步骤。
17. （本小题满分10分）
一名学生骑自行车上学，从他的家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是
（1）求这名学生首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率：
（2）求这名学生在途中遇到红灯数§的期望和方差。
18. （本小题满分12分）
设
，
与
的夹角为
，
与的夹角为
，且
，求
的值。
19. （本小题满分12分）
如图，某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作：先在地平面
内作菱形ABCD，其边长为1，
，再在平面的上侧，分别以
与
为底面安装上相同的正三棱锥
与
。
（1）求证：
（2）求二面角
的大小；
（3）求点P到平面
的距离
20. （本小题满分12分）
已知等比数列，求证：对任意
，方程
都有一个相同的根，且另一个根
仍组成一个等比数列
。
21. （本小题满分14分）
已知A（
，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率乘积为
（1）根据k的取值情况，讨论点P的轨迹类型。
（2）若点P的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且下顶点到直线
的距离为
，求
的值。
22. （理科 本小题满分14分）
已知函数
的定义域为R，对任意
都有
且
时，
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）试判断在区间
上，是否有最大值或最小值？如果有，求出其最大值或最小值；如果没有，说明理由；
（3）解关于
的不等式
22. （文科 本小题满分14分）
已知函数
，若函数
图象上任意一点P关于原点对称Q的轨迹恰好是函数的图象
（1）写出函数
的解析式；
（2）求不等式
的解集。
【试题答案】
一. 选择题
1. A 2. B 3. C 4. C 5. D 6. A 7. B 8. A 9. B
10. C 11. D 12. C
二. 填空题
13. 
14.
（理）
（文）
15.
1：2：3
16. 
三. 解答题：
17. （理）
解：（1）
这名学生第一、第二交通岗未遇到红灯，第三个交通岗遇到红灯 2分
5分
（2）
6分
8分
10分
（文）解：（1）从中买1张彩票获得二等奖的概率为
2分
从中买1张彩票获得三等奖的概率为
4分
从中买1张彩票获得二等奖或三等奖的概率为：
6分
（2）从中买1张彩票中奖的概率为
8分
从中买1张彩票不中奖的概率为
10分
18. （理）
解：
2分
4分
又
故
6分
8分
，
10分
又
，即
11分
12分
文（解）：
2分
3分
又
7分
即
10分
11分
为等边三角形 12分
19. （1）证明
是相同的正三棱锥
是全等的等腰三角形 1分
取BD中点E，连结PE，QE
则
平面PQE 3分
从而 4分
（2）证明：由（1）知
是二面角的平面角 5分
作
，垂足为M，作
，垂足为N，则PM//QN，M，N分别为正与正
的中心，从而A，M，E，N，C在一条直线上。 6分
PM与QN确定平面PACD且PMNQ为矩形
经计算
，
8分
二面角为
9分
（3）解：由（1）知
平面PEQ，设点P到平面QBD的距离为h
则
10分
又
11分
即点P到平面QBD的距离为
12分
20. （理）
证明：（1）数列为等比数列
2分
故
总满足方程
因此方程有一个公共根 5分
（2）当n依次取正整数时，设方程另一个根为
数列的首项为
，公比为
，根据韦达定理有
7分
即
9分
而
11分
因此数列是以
为公比的等比数列 12分
（文）
解：（1）设等比数列公比为
2分
数列
是以
为公差的等差数列 3分
（2）由：
，即
即
5分
由已知得
解得
或
6分
由求得
7分
此时
9分
由求得
10分
此时
12分
21. 解：
（1）设点P的坐标为（
），则
，即
2分
，动点P的轨迹方程为
4分
当
时，点P的轨迹为双曲线（除去两顶点（
，0）） 5分
当
时，且
时，点P的轨迹为椭圆（除去两顶点（，0）） 6分
当
时，点P的轨迹为圆（除去两点（，0）） 7分
（2）点P的轨迹为焦点在
轴上的椭圆
9分
下顶点坐标为
11分
点到直线
的距离为
，解得
（满足
） 14分
22. （理）
解：（1）由，令
得
而
，即
为奇函数 2分
（2）当
时，由时
有
是减函数 4分
从而在
上有最大值
，最小值
最小值
6分
最大值
（3）
7分
即
9分
当
时
10分
当
0时
11分
当
时
12分
当
时
13分
当
时
14分
（文）解：
（1）设图象上任意一点P（
）则
，P点关于原点的对称点
Q（
）在的图象上 2分
，
4分
5分
（2）
在
即
前提下 7分
8分
（1）当
时
，即
又
10分
（2）当
时
，
或
又
12分
总之，当时
，当时
14分