高考数学普通高等学校春季招生考试2
数学（理工农医类）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页。第II卷3至9页，共150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题 共50分）
注意事项：
1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
三角函数的积化和差公式
正棱台、圆台的侧面积公式
其中
分别表示上、下底面周长，
表示斜高或母线长
球体的体积公式
其中R表示球的半径
一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）在函数
中，最小正周期为
的函数是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
（2）当
时，复数
在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
（3）双曲线
的渐近线方程是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
（4）一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ）
A. 
B.
C.
D.
（5）在极坐标系中，圆心在
且过极点的圆的方程为（ ）
A. 
B.
C. 
D.
（6）已知
，则下列不等关系中必定成立的是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
（7）已知三个不等式：
（其中a，b，c，d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
（8）两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（ ）
A. 
B.
C.
D.
（9）在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（ ）
A. 
B.
C.
D.
（10）期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M:N为（ ）
A. 
B.
1 C.
D.
2
第II卷（非选择题共100分）
注意事项：
1. 第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
（11）若
为函数
的反函数，则的值域是_________。
（12）
的值为____________。
（13）据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b，2003年产生的垃圾量为a吨。由此预测，该区下一年的垃圾量为____________吨，2008年的垃圾量为_________吨。
（14）若直线
与圆
没有公共点，则m，n满足的关系式为____________；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆
的公共点有_________个。
三. 解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题满分13分）
当
时，解关于x的不等式
。
（16）（本小题满分13分）
在
中，a，b，c分别是
的对边长，已知a，b，c成等比数列，且
，求
的大小及
的值。
（17）（本小题满分15分）
如图，四棱锥
的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，
。
（I）求证
；
（II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（III）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小。
（18）（本小题满分15分）
已知点A（2，8），
在抛物线
上，的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（II）求线段BC中点M的坐标；
（III）求BC所在直线的方程。
（19）（本小题满分14分）
某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。
（I）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（II）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数
的表达式；
（II）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）
（20）（本小题满分14分）
下表给出一个“等差数阵”：
| 4 | 7 | （ ） | （ ） | （ ） | …… |
| …… |
| 7 | 12 | （ ） | （ ） | （ ） | …… |
| …… |
| （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | …… |
| …… |
| （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | …… |
| …… |
| …… | …… | …… | …… | …… | …… | …… | …… |
|
|
|
|
|
| …… |
| …… |
| …… | …… | …… | …… | …… | …… | …… | …… |
其中每行、每列都是等差数列，
表示位于第i行第j列的数。
（I）写出
的值；
（II）写出的计算公式；
（III）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
【试题答案】
2004年普通高等学校春季招生考试
数学试题（理工农医类）（北京卷）参考解答
一. 选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
（1）A （2）D （3）A （4）C （5）B
（6）B （7）D （8）C （9）C （10）B
二. 填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。
（11）
（12）1
（13）
（14）
2
三. 解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）本小题主要考查不等式的解法、指数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力，满分13分。
解：由，原不等式可化为
这个不等式的解集是下面不等式组(1)及(2)的解集的并集：
或
解不等式组(1)得解集
解不等式组(2)得解集
所以原不等式的解集为
（16）本小题主要考查解斜三角形等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。满分13分。
解：（I）
成等比数列
又
在中，由余弦定理得
（II）解法一：在中，由正弦定理得
解法二：在中，由面积公式得
（17）本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分15分。
（I）证法一：如图1
图1
底面ABCD是正方形
底面ABCD
DC是SC在平面ABCD上的射影
由三垂线定理得
证法二：如图1
底面ABCD是正方形
底面ABCD
，又
平面SDC
（II）解法一：
底面ABCD，且ABCD为正方形
可以把四棱锥补形为长方体
，如图2
面ASD与面BSC所成的二面角就是面
与面
所成的二面角，
又
为所求二面角的平面角
在
中，由勾股定理得
在
中，由勾股定理得
即面ASD与面BSC所成的二面角为
图2
解法二：如图3
过点S作直线
在面ASD上
底面ABCD为正方形
在面BSC上
为面ASD与面BSC的交线
为面ASD与面BSC所成二面角的平面角。
（以下同解法一）
图3
（III）解法一：如图3
是等腰直角三角形
又M是斜边SA的中点
面ASD，SA是SB在面ASD上的射影
由三垂线定理得
异面直线DM与SB所成的角为
解法二：如图4
取AB中点P，连结MP，DP
在
中，由中位线定理得MP//SB
是异面直线DM与SB所成的角
又
在
中，有
异面直线DM与SB所成的角为
图4
（18）本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。满分15分
解：（I）由点A（2，8）在抛物线上，有
解得
所以抛物线方程为
，焦点F的坐标为（8，0）
（II）如图，由F（8，0）是的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且
设点M的坐标为
，则
解得
所以点M的坐标为
（III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴。
设BC所成直线的方程为
由
消x得
所以
由（II）的结论得
解得
因此BC所在直线的方程为
即
（19）本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力。满分14分
解：（I）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为
个，则
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元。
（II）当
时，
当
时，
当
时，
所以
（III）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则
当
时，
；当
时，
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；
如果订购1000个，利润是11000元。
（20）本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。满分14分
解：（I）
（II）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：
第二行是首项为7，公差为5的等差数列：
……
第i行是首项为
，公差为
的等差数列，因此
（III）必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得
从而
即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得
从而
可见N在该等差数阵中
综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
| 年级 | 高中 | 学科 | 数学 | 版本 | 期数 | ||||||||
| 内容标题 | 2004年普通高等学校春季招生考试—数学（理工农医类）（北京卷） | ||||||||||||
| 分类索引号 | G.622.475 | 分类索引描述 | 统考试题与题解 | ||||||||||
| 主题词 | 2004年普通高等学校春季招生考试—数学（理工农医类）（北京卷） | 栏目名称 | 高考题库 | ||||||||||
| 供稿老师 | 审稿老师 | ||||||||||||
| 录入 | 许咏梅 | 一校 | 康纪云 | 二校 | 审核 | ||||||||