高三第一学期期中数学试卷
数学
学校___________班级___________姓名___________
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数
的值域为集合M，函数
的值域为集合N，则（ ）
（A）
（B）
（C）M=N （D）
2．函数
的图像是（ ）
3．成等差数列的3个正数的和等于15，并且这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列。那么这三个数的乘积等于（ ）
（A）210 （B）105
（C）70 （D）35
4．不等式
的解集是（ ）
（A）
（B）
（C）[-1，3] （D）
5．若
则“a>b”的一个充分必要条件是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）1na>1nb
6．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+4）= -f（x），且在[0，4]上是减函数，则（ ）
（A）f（10）<f（13）<f（15） （B）f（13）<f（10）<f（15）
（C）f（15）<f（10）<f（13） （D）f（15）<f（13）<f（10）
7．设函数
，则
的值应为（ ）
（A）a （B）b
（C）a，b之中较小的数 （D）a，b之中较大的数
8．已知
，若f（a）>f（2.5），则a的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
9．若
，则
_________。
10．已知
，那么
___________。
又若
，那么
___________。
11．已知
，则当x=___________时，x（5-2x）的最大值是___________。
12．首项为1，公比为q（q>0）的等比数列前n项和为
，则
___________。
13．有一组数据：
，它们的算术平均值为10，若去掉其中最大的
，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的
，余下数据的算术平均值为11。则
关于n的表达式为___________；关于n的表达式为___________。
14．从3男7女共10个人中选出5人，
若其中甲、乙两人必选在内，共有___________种不同的选法；（用数字作答）
若至少有一名男生被选在内，共有___________种不同的选法。（用数字作答）
三、解答题：本大题共6个小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分14分）
（理科学生作）解关于x的不等式
其中0<a<1
（文科学生作）解不等式
16．（本小题满分12分）
已知复数z满足
其中a是实数
（Ⅰ）求复数z（写成关于a的表达式）
（Ⅱ）当实数a为何值时，满足条件的复数z存在？
17．（本小题满分14分）
已知一次函数y=f（x）满足f（0）=1，又点
（n=1，2，3，…）在这个一次函数y=f（x）的图像上，若
，且当
时，恒有
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）分别写出
的值，并求出数列
的通项公式。请予以证明。
18．（本小题满分12分）
经市场调查分析知，某地明年从年初开始的前n个月，对某种商品需求总量f（n）（万件）近似地满足下列关系：
（n=1，2，3，…，12）
（Ⅰ）写出明年第n个月这种商品需求量g（n）（万件）与月份n的函数关系式，并求出哪几个月的需求量超过1.4万件；
（Ⅱ）若计划每月该商品的市场投放量都是p万件，并且要保证每月都满足市场需求，则p至少为多少万件？
19．（本小题满分16分）
已知数列中，
，且
。
（Ⅰ）试求
的值，使得数列是一个常数数列；
（Ⅱ）试求的取值范围，使得
对任何自然数n都成立；
（Ⅲ）若
，设
，并以表示数列
的前n项的和，试证明：
。
20．（本小题满分12分）
（理科学生作）已知二次函数
的定义域为[-1，1]，
且f（x）的最大值为M。
（Ⅰ）试证明
；
（Ⅱ）试证明
；
（Ⅲ）当
时，试求出f（x）的解析式。
（文科学生作）设二次函数
若
且
（Ⅰ）试证
（Ⅱ）试比较
与
之间的大小关系。
（Ⅲ）试比较
与
之间的大小关系。
高三数学第一学期期中练习
参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共40分）
1D 2C 3B 4B 5A 6B 7D 8C
二、填空题（每小题5分，若有两空时，其中第一空3分，第二空2分。共30分。）
9．
10．5；4-4i 11．
12．
13．11-n；n+9 14．56；231
三、解答题（共80分）
15．（本题满分14分）
解：设：
，代入原不等式得
…………3分
上述不等式
（Ⅰ）
或（Ⅱ）
……………………8分
又由（Ⅰ）
解得
由（Ⅱ）解得
∴不等式（*）的解集为
，
即
。……………………12分
（理科评分）∴
∵0<a<1，∴
即原不等式的解集为
。……………………14分
（文科评分）∴
即原不等式的解集为
。……………………14分
16．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）设，
，则
………………2分
代入题设
得：
……………………4分
整理后，由复数相等的定义得方程组：
………………6分
………………8分
可得：
………………10分
（Ⅱ）∵
，∴
解出
…………………………………………12分
17．（本题满分14分）
解：（Ⅰ）设y=f（x）=kx+b，∵f（0）=1
∴b=1………………………………………………………………3分
又
在y=f（x）的图像上，
∴
，又
，
而由
∴k=1……………………………………………………………………6分
∴f（x）=x+1
（Ⅱ）∵
当n=1时，由
，得
当n=2时，由
，得
当n=3时，由
，得
……………………7分
猜想：
！……………………………………………………9分
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，结论正确；
（2）假设当
时结论成立，即
！
则当n=k+1时，
！结论亦正确。
由（1）、（2）可知原式！对任何
都成立，…………14分
18．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）当n=1时，
；……………………2分
当时，
（经检验对n=1也成立）
∴
………………………………5分
解不等式
得5<n<7
∵，∴n=6。
即第6个月的需求量超过1.4万件。………………………………7分
（Ⅱ）由题设可知，对于n=1，2，…，12恒有：
，
即
…………………………………………9分
当且仅当n=8时，
∴每月至少投放1.14万件。…………………………………………12分
19．（本题满分16分）
解：（Ⅰ）欲使数列是一个常数数列，则
，……………………2分
又依，可以推得
并解出：
即
…………………………………………4分
（Ⅱ）研究
……………………6分
注意到：
因此，可以得出：
有相同的符号。…………………………………………………………………………8分
要使对任意自然数都成立，只须
即可。
由
，解得：
。…………10分
（Ⅲ）用与（Ⅱ）中相同的方法，可得
当
时，
对任何自然数n都成立。
因此当时，
……………………12分
∴
…………………………………………14分
又：
即
可得
，故
……………………16分
20．（本题满分12分）
（理科评分）（Ⅰ）证明：
∵
……………………2分
=21+b……………4分
∴
（Ⅱ）证明：依题意，
，
又：
………………………………………………………5分
∴
…………10分
∴
（Ⅲ）解：依时，
①
同理
②
③
②+③得：
④
由①，④得：
当时，分别代入②、③，得：
∴a=0
因此，
……………………12分
（文科评分）
解：
（Ⅰ）
………………2分
……………………………………4分
（Ⅱ）令
则
研究：
这个由于
的缘故。……………………………………8分
所以
（Ⅲ）研究
…………………………………………10分
因此 当a>0时，
当a<0时，
…………12分
注：其它正确解法可按相应步骤给分。