高三教学情况调查测试数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式
|
|
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把所选项前的字母填在题后括号内.
1．直线
的倾斜角所在的区间是 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．不等式
的解集为 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知θ是锐角，那么下列各值中
能取到的值是 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．函数
的反函数是 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知等差数列
的前n项和为
，若
等于 （ ）
A．18 B．36 C．54 D．72
6．已知二面角
的大小为60°，b和c是两条异面直线，则在下列四个条件中，能
使b和c所成的角为60°的是 （ ）
A．b∥
，c∥
B．b∥，c⊥
C．b⊥,c⊥ D．b⊥，c∥
7．设F1，F2是双曲线
的两个焦点，点P在双曲线上，且
=0，则
的值等于 （ ）
A．2 B．
C．4 D．8
8．过点（1，3）作直线l，若l经过点（a,0）和（0,b），且
，则可作出的l的条数
为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．多于3
9．已知
，则下列结论中正确的是 （ ）
A．函数
的周期为2π
B．函数的最大值为1
C．将
的图象向左平移
单位后得
的图象
D．将的图象向右平移单位后得的图象
10．从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球
（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率 （ ）
A．小 B．大 C．相等 D．大小不能确定
|
路，图中所标线段为道路， ABQP、BCRQ、CDSR近似
于正方形.已知A、B、C、D 四个采煤点每天的采煤量之
比约为5:1:2:3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量
都成正比.现要从P、Q、R、S中选出一处设立一个运煤中
转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在 （ ）
A．P点 B．Q点 C．R点 D．S点
|
的图象如右图所示，它在R上单调递减.现有如下结论：
①
； ②
；
③
④
其中正确结论的个数是 （ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共有4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13．抛物线
的准线方程是
.
14．已知
是偶函数，当
的最大值为
m，最小值为n，则m－n= .
15．为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分，转化关
系式为：
（其中x是某位学生的考试分数，
是该次考试的平均分，s是该次
考试的标准差，Z称为这位学生的标准分）.转化成标准分后可能出现小数和负值，因此，
又常常再将Z分数作线性变换转化成其他分数. 例如某次学业选拔考试采用的是T分
数，线性变换公式是：T=40Z+60. 已知在这次考试中某位考生的考试分数是85，这次考
试的平均分是70，标准差是25，则该考生的T分数为 .
|
个结论：
①直线AM与CC1是相交直线
②直线AM与NB是平行直线
③直线BN与MB1是异面直线
④直线AM与DD1是异面直线
其中正确的结论为 （注：把你认为正确的结论的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.（Ⅰ）求证：（a－b）⊥c； （Ⅱ）若（ka+b+c）>1（k∈R），求k的取值范围.
18．（本小题满分12分）
某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是.从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是
，出现绿灯的概率是
；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是
，出现绿灯的概率是
.问：（Ⅰ）第二次闭合后出现红灯的概率是多少？（Ⅱ）三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的概率是多少？
注意：考生在（19甲）、（19乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（19甲）计分.
|
如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面
ABCD所成的角为60°,在四边形ABCD中，∠D=∠DAB=90°，
AB=4，CD=1，AD=2.
（Ⅰ）建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；
（Ⅱ）求异面直线PA与BC所成的角；
（Ⅲ）若PA的中点为M，求证：平面AMC⊥平面PBC.
19．（乙）（本小题满分12分）
|
（Ⅰ）求证：平面CA1B⊥平面A1ABB1
（Ⅱ）求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值；
（Ⅲ）求点C1到平面A1CB的距离.
|
直线
交于A、B
两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）.
（Ⅰ）若
，且四边形OAPB为矩形，求a的值；
（Ⅱ）若
，当k变化时（k∈R），求点P的轨迹方程.
21．（本小题满分12分，附加题满分4分）
某厂在一个空间容积为2000m3的密封车间内生产某种化学药品. 开始生产后，每满60分钟会一次性释放出有害气体am3，并迅速扩散到空气中.每次释放有害气体后，车间内的净化设备随即自动工作20分钟，将有害气体的含量降至该车间内原有有害气体含量的r%，然后停止工作，待下一次有害气体释放后再继续工作. 安全生产条例规定：只有当车间内的有害气体总量不超过1.25am3时才能正常进行生产.
（Ⅰ）当r=20时，该车间能否连续正常6.5小时？请说明理由；
（Ⅱ）能否找到一个大于20的数据r，使该车间能连续正常生产6.5小时？请说明理由;
（Ⅲ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）
已知该净化设备的工作方式是：在向外释放出室内混合气体（空气和有害气体）的同时向室内放入等体积的新鲜空气. 已知该净化设备的换气量是200m3/分，试证明该设备连续工作20分钟能够将有害气体含量降至原有有害气体含量的20%以下.（提示：我们可以将净化过程划分成n次，且n趋向于无穷大.）
（22）（本题满分14分）
已知
上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程
有三个根，它们分别为
.（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求证
（Ⅲ）求
的取值范围.
高三教学情况调查测试数学试卷
参考答案及评分标准
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.
1．B 2．C 3．A 4．A 5．D 6．C 7．A 8．B 9．D 10．B 11．B 12．C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.
13．
14．1 15．84 16．③④
三、解答题
17．解（Ⅰ）
且a、b、c之间的夹角均为120°，
…3分 
.…4分
（Ⅱ）
……………………………………6分
…8分
…10分 
……12分
18．解（Ⅰ）如果第一次出现红灯，则接着又出现红灯的概率是
；………………2分
如果第一次出现绿灯，则接着出现红灯的概率为
.……………………………4分
综上，第二次出现红灯的概率为+
.………………………………5分
（Ⅱ）由题意，三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的情况共有如下三种方式：
①当出现绿、绿、红时的概率为
；……………………………………7分
②当出现绿、红、绿时的概率为
；……………………………………9分
③当出现红、绿、绿时的概率为
；…………………………………………11分
所以三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的概率为
++=
………………………………………………12分
19．（甲）解（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系
∵∠D=∠DAB=90°，AB=4，CD=1，AD=2，
∴A（2，0，0），C（0，1，0），B（2，4，0）.…………………………………2分
由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，∴∠PAD=60°.
|
，
∴
.…………………………4分
（Ⅱ）
……6分
所以PA与BC所成的角为
…………………7分
（Ⅲ）
.
…………………………………8分
，
……………………………………………10分
.…………………………………………………………12分
19．（乙）证（Ⅰ）因为四边形BCC1B1是矩形∴BC⊥BB1，
又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面A1ABB1，…………………………………………2分
∵BC
平面CA1B，∴平面CA1B⊥平面A1ABB1.……………………………3分
解（Ⅱ）过A1作A1D⊥B1B于D，连接DC，∵BC⊥平面A1ABB1，∴BC⊥A1D
∴A1D⊥平面BCC1B1，故∠A1CD为直线A1C与平面BCC1B1所成的角.……5分
|
，
因为四边形A1ABB1是菱形，∠A1AB=60°，CB=3，
AB=4，∴
，
.………………7分
（Ⅲ）∵B1C1∥BC1， ∴B1C1∥平面A1BC，
∴C1到平面A1BC的距离即为B1到平面A1BC的距离.…………………………9分
连结AB1 ，AB1与A1B交于点O，∵四边形A1ABB1是菱形，∴B1O⊥A1B.
∵平面CA1B⊥平面A1ABB1，∴ B1O⊥平面A1BC
∵B1O即为C1到平面A1BC的距离.………………11分 ∵B1O=，
∴C1到平面A1BC的距离为.………………………………………………12分
20．解（Ⅰ）设
…………2分
，………………………………4分
……………………………………6分
（Ⅱ）设
因为A、B在椭圆
相减得
……………………………………9分
所以
…………………………………………11分
……………12分
21．解（Ⅰ）∵第一次释放有害气体
，∴第二次释放有害气体后（净化之前），车间内共有有害气体
，第三次释放有害气体后（净化之前），车间内共有有害气体
，…2分……∵6.5小时共释放出6次有害气体，且有害气体的含量逐次递增，∴要使该车间能连续正常生产，在最后一次释放有害气体后（净化之前），车间内有害气体总量不得超过1.25am3，即必须要有
，
即
…………4分 
∴当r=20时，该车间能连续生产6.5小时.…………………………………6分
（Ⅱ）
满足条件，即要有
即
（*）…8分
要使（*）成立，只要
即可，……………………10分
，就可使该车间连续生产6.5小时.………………………………………………………………………12分
（Ⅲ）设车间内原有有害气体量为A，将20分钟的净化过程划分成n次，则每次的换气量为
. 不防假设换气过程是先放入新鲜空气再释放混合气体，∵净化后残留的有害气体量=净化前残留的有害气体量－被释放混合气体中所含有害气体量，第一次将化后残留的有害气体量为：
第二次净化后残留的有害气体量为：
……第n次净化后残留的有害气体量为：
……………………2分
当n极大时，可将
看作整数k，
∵20分钟能够将有害气体含量降至原有有害气体含量的20%以下.……………4分
22．解（Ⅰ）
………1分 
上是增函数，在[0，2]上
是减函数，∴当
取到极大值，
……3分
（Ⅱ）
………4分
的两个根分别为
∵函数
上是减函数，
.……………………7分
……………………………9分
（Ⅲ）
…………………………………………12分
.………………………………………………………14分