高三第二学期期初考试数学试卷
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)=
.
球的体积公式V球=
（其中R表示球的半径）
一、选择题 本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。把正确选项前的字母填入下表中。
（1）x∈R时，函数y=3sin(
)的周期是（
）
A．
B．2 C．3 D．4
2．若
，
的夹角为30°，则
的值为（ ）
A．
B．
C．2 D．
3．直线
互相平行的一个充分条件是（ ）
A．都平行于同一平面
B．与同一平面所成的角相等
C．
所在的平面
D．都垂直于同一平面
4．已知函数f(x)=4x3+bx2+ax+5在x=
、x=－1时有极值，那么（ ）
A．a=－18,b=－3 B．a=－18,b=3 C．a=18,b=－3 D．a=18,b=3
5．在（1－x）5(1+x)4的展开式中x3的系数是（ ）
A．－6 B．－4 C．4 D．6
6．设全集为R，对a>b>0，作集合M=
，则集合
可表示为（ ）
A．M∪N B.M∩N
C.
CRM∩N D．M∩CRN
7.已知非负实数x、y满足2x+3y－8≤0且3x+2y－7≤0 ，则x+y的最大值是（ ）
A．
B.
C. 3
D.2
8.正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为
，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
9．已知f(x)是一次函数，f(10)=21,且f(2), f(7),f (22)成等比数列，则f(1)+f(2)+…… +f(n)等于（ ）
A．n2+2n B．n2－2n C．n2+n D．n2－n
10.2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（ ）
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
11．F是双曲线
的左焦点，点A为右顶点，点B为虚轴在x轴上方的端点，BF⊥AB，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A，B是它的两个焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（ ）
A．4a B．2(a－c) C．2(a+c) D．以上答案均有可能
二、填空题 本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13．一个工厂有若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查，若某一车间这一天生产256件产品，则从这个车间抽取的产品件数为___________。
14．若数列
中，a1=3, 且an+1=an2(n∈N*)，则数列的通项an=_____________.
15.设集合S n=
，若X是Sn的子集，把X的所有数的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）。若X的容量为奇（偶）数，则称X为Sn的奇(偶)子集。若n=4，则Sn的所有奇子集的容量之和为_________。
16．给出以下命题：
①若a>b，则c－a<c－b ;
②若函数y=2x－2－xlgk为奇函数，则实数k=10；
③曲线y=
在点（1，
）处的切线与直线x+y－3=0垂直；
④若平面
⊥平面
，平面
⊥，则//。
其中正确命题的序号是_______________(把你认为正确命题的序号都填上)
三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．本小题满分12分
在△ABC中，a, b,c分别为角A、B、C的对边，且满足
4sin2
.
(I)求角A的度数；
（II）若a=, b+c=3,且b<c，求b, c的值。
18．本小题满分12分
有一批食品，出厂前要进行五项指标抽检，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂。已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是0.2.
(I)求直至五项指标全部检验完毕，才确定该批食品不能出厂的概率（保留三个有效数字）；
（II）求这批食品不能出厂的概率（保留三个有效数学）
19．本小题满分12分
如图，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=a，点A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，BA1⊥AC1。
（I）求证：BC⊥平面A1ACC1；
（II）求点A1到AB的距离
（III）求二面角B—AA1—C的正切值
20．（本小题满分12分）
已知函数f(x)=3x+k(k为常数)，A（－2k, 2）是函数y=f－1（x）图象上的点。
（I）求实数k的值及函数y=f－1(x)的解析式；
（II）将y=f－1(x)的图象按向量
（3，0）平移，得到函数y=g(x)的图象。若2f－1(x+
)－g(x)≥1恒成立，试求实数m的取值范围。
21．本小题满分12分
设G、M分别为不等边△ABC的重心与外心，A（－1，0）、B（1，0），GM//AB。
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹为曲线E，是否存在直线
，使过点（0.1）并与曲线E交于P、Q两点，且满足
？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。
注：三角形的重心的概念和性质如下：
设△ABC的重心，且有
。
22．本小题满分14分
设、为方程x2－x－1=0的根，且>，cn=n－n(n∈N*)
（1） 求c1、c2、c3；
（2）证明：
（3）证明：
【参考答案】
一、选择题 每小题5分，共60分
DBDA CDCB ABBD
二、填空题 每小题4分，共16分
13. 16 14. 32n－1 15. 7 16. ①②③
三、解答题 共74分
17．解：（I）由4sin2
即4cos2A－4cosA+1=0得cosA=,∴A=60°
（II）由余弦定理有a2=b2+c2－2bc cosA. 又a=得3=（b+c）2－2bc－2bccosA，解得bc=2,………………10分 联立方程组
解得b=1，c=2…………12分
18．解：（I）要五项指标全部检验完毕，才能确定该批食品是否出厂，那么前四资助检测恰有一项指标不合格，最后一次检测为不合格则不出厂，所以所求的概率为p2=C14(0.2)(0.8)3(0.2)≈0.082
(II)这批食品能出厂的概率为P=
所以这批食品不能出厂的概率为P1=1－P≈0.263
19．解：（1）由题意，A1D⊥平面ABC，∴A1D⊥BC。
又AC⊥BC，∴BC⊥平面A1ACC1
（II）过D作DH⊥AB于H，又A1D⊥平面ABC，∴AB⊥A1H
∴A1H是H1到AB的距离
∵BA1⊥AC1，BC⊥平面A1ACC1，由三垂线定理逆定理，得A1C⊥AC1
∴ A1ACC1是菱形
∴A1A=AC=a,
A1D=
.
由Rt△ADH～Rt△ABC，可得DH=
在Rt△A1DH中，求得A1H=
为所求距离。
（III）过C作CM⊥AA1于M，则正△AA1C中，M为AA1中点
∵BC⊥平面A1ACC1，由三垂线定理，得AA1⊥BM。
∴∠BMC是二面角B—AA1—C的平面角。
∵CM=，BC=a, ∴－ 2k=32+k
（I）∵A（－2k, 2）是函数y=f－1(x)图象上的点。
∴B（2，－2K）是函数y=f(x)上的点。
∴2k=32+k
∴k=－3, ∴y=f(x)=3x－3
∴y=f－1(x)=log3(x+3),(x>－3)
（II）将y=f－1(x)的图象按向量
=（3，0）平移，得函数y=g(x)=log3x(x>0)
要使2f－1(x+)－g(x)≥1 恒成立，
即使2log3(x+)－log3x≥1恒成立。
所以有x+
≥3在x>0时恒成立，只须（x+）min≥3。
又x+
(当且仅当x=
时取等号)
∴（x+
）min=4
只须4≥3，即m≥
。
∴实数m的取值范围为
21.(I)点C的轨迹方程为 x2+
(II)假设存在直线满足条件，设直线方程为y=kx+1,
由
消去x，得（3+k2）x2+2kx－2=0
∵直线与曲线E并于P、Q两点，∴△=4k2+8(2+k2)>0
设P(x1,y1)，Q（x2,y2）,则
∵
∴x1x2+y1y2=－2,即x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=－2.
(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+3=0,
(1+k2)
解得k2=7, ∴k=±
故存在直线：y=±+1,使得
22．解：（I）解方程x2－x－1=0，得=
则c1=
(II)略
(III)因为数列
是正项数列，所以
由（2）知
又数列
是首项为
的等比数列，
所以