高三第二学期数学第二次质检
数学
第Ⅰ卷（选择题选择题共60分）
参考公式：
三角函数的和差化积公式：
圆台的体积公式：
其中
分别为圆的上、下底面半径，h表示圆台的高
球体的体积公式：
其中R表示示的半径。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合
，若
，则实数m的取值范围是（ ）
（A）m≥-1 （B）m>-1
（C）m≤-1 （D）m<-1
（2）若直线l过点（3，0）且与双曲线
只有一个公共点，则这样的直线有（ ）
（A）1条 （B）2条
（C）3条 （D）4条
（3）
中的复数z的模应满足的不等式是（ ）
（A）z<8
（B）
（C）
（D）
（4）（文）在复平面内，把复数
对应的向量按顺时针方向旋转
，所得向量对应的复数是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（理）设点P对应的复数是3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，那么点P的极坐标是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）（文）设P（x,y）是曲线
上任意一点，则
的取值范围是
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（理）设P（x,y）是曲线
（
为参数，
）上任意一点，则的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C） （D）
（6）A、B、C、D、E五种不同的商品要在货架上排成一排，其中A、B两种商品必须排在一起，而C、D两种商品不能排在一起，则不同的排法共有（ ）
（A）12种 （B）20种
（C）24种 （D）48种
（7）设函数
，则f(x)的反函数
的图象是（ ）
（8）用一块长3m，宽2m的矩形木板，在二面角为90°的墙角处，围出一个直三棱柱形谷仓，在下面的四种设计中，容积最大的是（ ）
（9）在等比数列
中，
那么
等于（ ）
（A）6 （B）-6
（C）±2 （D）±6
（10）已知凸函数的性质定理：
“若函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意
有：
”
若函数y=sinx在区间（0，π）上是凸函数，则在△ABC中，
的最大值是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）一个半径为R的球，在一个水平放置的，内壁为半圆柱形（圆柱底面半径也是R）的槽内恰好可以无滑动地滚动一周，从槽的一端滚向另一端，设球的表面积为s，槽的内壁面积为s’，则s与s’的大小关系是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）不确定
（12）若a>1，
，则f(-1) 与f (π)的大小关系是（ ）
（A）f(-1) <f (π) （B）f(-1)=<f (π)
（C）f(-1) >f (π) （D）不确定
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上
（13）若
的展形式中各项系数的和为128，则展开式中
项的系数为____________。
（14）
是正实数，如果函数
在
上是增函数，那么的取值范围是________________________。
（15）在数列中，
是它的前n项和，且
，则它的通项公式是
=______________________。
（16）已知椭圆
是它的两个焦点，若P是椭圆上任意一点，
的最小值是________________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若a,b,c成等比数列。
（Ⅰ）求证
；
（Ⅱ）求
的取值范围。
（18）（本题满分12分）
已知a>1，
。
（文）（Ⅰ）求函数f(x)的反函数
；
（Ⅱ）试比较
的大小。
（理）（Ⅰ）求函数f(x)的定义域；
（Ⅱ）求函数f(x)的反函数；
（Ⅲ）试比较的大小。
（19）（本小题满分12分）
（文）如图，在三棱柱ABC-
中，四边形
是菱形，四边形
是矩形，
。
（Ⅰ）求证：平面CA′B⊥平面A′AB；
（Ⅱ）若C′B′=3，AB=4，∠ABB′=60°，求直线AC′与平面BCC′所成角的正弦值。
（理）如图，在三棱柱ABC-中，四边形是菱形，四边形是矩形，，且C′B′=3，AB=4，∠ABB′=60°。
（Ⅰ）求证：平面CA′B⊥平面A′AB；
（Ⅱ）求直线AC′与平面BCC′所成角的大小（用反三角函数表示）
（Ⅲ）求三棱锥A′BCC′的体积。
（20）（本小题满分12分）
（文）有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为P万元和Q万元，它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式
。现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少？
（理）有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为P万元和Q万元，它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式。现有a万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少？
（21）（本小题满分13分）
已知椭圆中心在原点，以抛物线
的焦点为其右焦点，并且椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，A、B是椭圆上两点，弦AB中点M在直线x=4上。
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）求证弦AB的重直平分线l与x轴交于定点。
（Ⅲ）（只理科做）求直线l的斜率的取值范围。
（22）（本小题满分13分）
（文）已知函数
，记数列的前n项和为
，且有
当
时，
。
（Ⅰ）计算
；
（Ⅱ）求出数列的通项公式，并给予证明。
（理）已知函数
，其中p>0,p+q>1，对于数列，设它的前n项和为，且满足
。
（Ⅰ）求数列的通项公式，并证明
；
（Ⅱ）求证：点
在同一直线
上；
（Ⅲ）若过点
作直线
的夹角为，求
的最大值。
 |
答案
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | D | C | C | B | C | C | B | A | D | C | B | C |
一、 填空题：每小题4分，共16分。
（13）－189 （14）
（15）2n-1 （16）8
三、解答题：共74分
（17）（本小题满分12分）
（Ⅰ）证：由已知，
。
由余弦函数单调性可知
。 （5分）
（Ⅱ）解：
（9分）
，
。
。
即
。时 （12分）
（18）（本题满分12分）
解（Ⅰ）
。
。
。
两式相加 ，得
。
。过且过 （6分）
（Ⅱ）当
时，（12分）
（19）（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：三棱柱ABC—A′B′C′中，。C′B′//CB，
又C′B′⊥AB，∴CB⊥AB。
又四边形BCC′B′是矩形，CBB′B，
∴CB⊥平面A′AB。
∵CB
平面CA′B
∴平面BCC⊥平面AAB。 （4分）
（Ⅱ）解：过A作AH⊥BB′于H，连C′H。
∵CB平A′AB，CB平面BCC′，
∴平面BCC′⊥平面AAB。
∴AH⊥平面BCC。
∴∠AC′H为AC′与平面BCC′所成角。
连接A′B交于A′B于O，由四边形A′ABB′是菱形，ABB′=60O，可知ABB′为等边三角形，而H为BB中点，又AB′=4，AH=，于是在RtC′B′A中，
AC′=
在Rt△AHC中，
故直线AC′与平面BCC′所成角为
（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，平面BCC′⊥平面A′AB，AH ⊥BB′，
∴AH⊥平面BCC′。
∴点A到平面BCC′的距离即为AH=AB×
。
∵A′A//B′B，A′A//平面BCC′。
∴点′到平面BCC′的距离也为
。
= 
（12分）
（20）（本小题满分12分）
解：设对甲种商品投入金额x万元，是乙种商品投资为（3-x）万元，获得的利润总额为y万元。（2分）
由题意，得
。（6分）
设
，那么
（10分）
即
，
。因此，为获取最大利润，对甲、乙两种商品的的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元。（12分）
（21）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设椭圆方程为：
。
依题意，易知抛物线焦点坐标为（3，0）。
∴ c=3又由已知，有
∴解之，得a=5，b=4。
椭圆方程为
。 （4分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则由题设易知y1 ≠ y2，且弦AB中点M（
）。
AB垂直平分线l方程为：
令
①
∵ A、B坐标满足椭圆方程：
， 
两式相减：
。
代入①式得
∴AB垂直平分线l与x轴交于定点T（
。（9分）
（22）（本小题满分13分）
（Ⅰ）由已知，当
即
由
得
；
由
解得
；
由
解得
（6分）
（Ⅱ）则
，，，于是猜相：
。
以下用数学归纳法证明：
（a）当n=1时命题成立，
（b）设n=k时，
。
由
，
即当n=k+1时命题也成立。
故由（a）、（b）知对一切
（13分）