高三第二学期数学练习卷
班级 学号 姓名 成绩
一. 填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。
（1）当
时，复数
在复平面上对应的点位于 象限。
（2）双曲线
的渐近线方程是 。
（3）在极坐标系中，圆心在
且过极点的圆的方程为
。
（4）若
为函数
的反函数，则的值域是_
_。
（5）
的值为____________。
（6）在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（用式子表示） 。
（7）为使抛物线
上的点P与A（0，－4）和点B（2，0）构成的△PAB的面积最小，P点的坐标应为
.
（8）已知点
在直线
、
为常数）上，则
的最小值为
.
（9）期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M:N为 。
（10）两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是 。
（11）据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b，2003年产生的垃圾量为a吨。由此预测，该区下一年的垃圾量为__ __吨，2008年的垃圾量为 吨。
（12）若直线
与圆
没有公共点，则以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆
的点有______个。
二. 选择题：（16分）
（13）在函数
中，最小正周期为
的函数是 （ ）
A. 
B.
C. 
D. 
（14）将抛物线y2=2px先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
（15）已知
，则下列不等关系中必定成立的是 （ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
（16）已知三个不等式：
（其中a，b，c，d均
为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个
命题，可组成的正确命题的个数是 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
三. 解答题：本大题共6小题，共86分。（12+12+14+14+16+18）
（17）若关于x的不等式
＜0的解集为M,
(1)当a=4时，求集合M. (2)若3ÎM且5 ÏM,求实数a的取值范围.
（18）在
中，a，b，c分别是
的对边长，已知a，b，c成等比数列，且
，求
的大小及
的值。
（19）已知点A（2，8），
在抛物线
上，的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标； （II）求线段BC中点M的坐标；
（III）求BC所在直线的方程。
（20）已知某椭圆的焦点是F1(－4,0)、F2(4,0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且F1B+F2B=10.椭圆上不同的两点A(x1,y1)、C(x2,y2)满足条件：F2A、F2B、F2C成等差数列.
（I）求该椭圆的方程； （Ⅱ）求弦AC中点的横坐标.
（Ⅲ）设弦AC垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.
（21）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。
（I）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（II）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数
的表达式；
（Ⅲ）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）
（22）下表给出一个“等差数阵”：
| 4 | 7 | （ ） | （ ） | （ ） | …… |
| …… |
| 7 | 12 | （ ） | （ ） | （ ） | …… |
| …… |
| （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | …… |
| …… |
| （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | …… |
| …… |
| …… | …… | …… | …… | …… | …… | …… | …… |
|
|
|
|
|
| …… |
| …… |
| …… | …… | …… | …… | …… | …… | …… | …… |
其中每行、每列都是等差数列，
表示位于第i行第j列的数。
（I）写出
的值； （II）写出
的计算公式；
（III）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
高三第二学期数学练习卷
【试题答案】参考解答
一. 填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。
（1）当时，复数在复平面上对应的点位于 第四 象限。
（2）双曲线的渐近线方程是 
。
（3）在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为
。
（4）若为函数的反函数，则的值域是_
_。
（5）的值为____1________。
（6）在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同
取法的种数是（用式子表示） 
。
（7）为使抛物线上的点P与A（0，－4）和点B（2，0）构成的△PAB的面积最小，P点的坐标应为 （1，1） .
（8）已知点在直线、为常数）上，则 的最小值为 
.
（9）期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M
当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均
值为N，那么M:N为 1 。
（10）两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在
一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是
（11）据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b，2003年产生的垃圾量为a吨。由此预测，该区下一年的垃圾量为__
__吨，2008年的垃圾量为
吨。
（12）若直线与圆没有公共点，则以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆的公共点有_____2____个。
二. 选择题：（16分）
（13）在函数中，最小正周期为
的函数是 （ A ）
A. B.
C. D.
（14）将抛物线y2=2px先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线的方程为（ D ）
A． B．
C． D．
（15）已知，则下列不等关系中必定成立的是 （ B ）
A. B. C. D.
（16）已知三个不等式：（其中a，b，c，d均
为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个
命题，可组成的正确命题的个数是 （ D ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
三. 解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）若关于x的不等式＜0的解集为M,
(1)当a=4时，求集合M. (2)若3ÎM且5 ÏM,求实数a的取值范围.
解： (1)(-¥,-2)È (
,2)
(2)[1,+
)È(9,25] .
（18）解：（I）
成等比数列 
又
在中，由余弦定理得
（II）解法一：在中，由正弦定理得
解法二：在中，由面积公式得
（19） 解：（I）由点A（2，8）在抛物线上，有
解得
所以抛物线方程为
，焦点F的坐标为（8，0）
（II）如图，由F（8，0）是的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且
设点M的坐标为
，则
解得
所以点M的坐标为
（III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴。
设BC所成直线的方程为
由
消x得
所以
由（II）的结论得
解得
因此BC所在直线的方程为 
即
20．本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查综合运用数学知识和方法分析解决问题
的能力.（I）解：由椭圆定义及条件知
|
所以 
故椭圆方程为
（Ⅱ）由点B（4，yB）在椭圆上，得 F2B=yB=
解法一：
因为椭圆右准线方程为
，离心率为
.
根据椭圆定义，有F2A=
， F2C=
.
由F2A，F2B，F2C成等差数列，得 
由此得出x1+x2=8.
设弦AC的中点为P(x0，y0)， 则 
解法二：
由F2A，F2B，F2C成等差数列，得
①
由A(x1,y1)在椭圆
上，得 
所以
.
②
同理可得
③
将②、③代入①式，得 
所以x1+x2=8.
设弦AC的中点为P(x0,y0)， 则
（Ⅲ）解法一：
|
由④－⑤得 
即
将
代入上式，得
由上式得 
（当k=0时也成立）.
由点P（4,y0）在弦AC的垂直平分线上，得
y0=4k+m， 所以
由P(4,y0)在线段BB＇(B＇与B关于x轴对称，如图)的内部，得
<y0<
, 所以 
<m<
.
注：在推导过程中，未写明“x1≠x2”、“k≠0”、“k=0时也成立”及把结论写为
“
≤m≤
”的均不扣分.
解法二：
因为弦AC的中点为P(4,y0)，
所以直线AC的方程为
⑥
将⑥代入椭圆方程
得
所以
解得
（当k=0时也成立）.
以下步骤同解法一.
（21）解：（I）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为
个，则
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元。
（II）当
时，
当
时，
当
时，
所以
（III）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则
当
时，
；当
时，
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；
如果订购1000个，利润是11000元。
（22）本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
解：（I）
（II）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：
第二行是首项为7，公差为5的等差数列：
……
第i行是首项为
，公差为
的等差数列，因此
（III）必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得
从而
即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得
从而
可见N在该等差数阵中
综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
（19）设点
到点
、
距离之差为
，到
、
轴的距离之比为2，求
的取值范围。（2002全国）
22。已知抛物线
．过动点M（
，0）且斜率为1的直线
与该抛物线交于不同的两点A、B，
．
（Ⅰ）求
的取值范围；
（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交轴于点N，求
面积的最大值．(2001北京春)_
解：（Ⅰ）直线的方程为
，将 
，
得 
． ……2分
设直线与抛物线两个不同交点的坐标为
、
，
则 
……4分
又
，
∴ 
．……6分
∵ 
，∴
．解得 
． ……8分
（Ⅱ）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为
，则由中点坐标公式，得
，
． …10分
∴
．
又
为等腰直角三角形，∴
，
∴
． ……12分
即
面积最大值为
……14分
21．本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分7分
已知椭圆C的方程为
，点
的坐标满足
≤1．过点P的直线
与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点．求：
（1）点Q的轨迹方程；
（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数．（上海2001春）
[解]（1）设点
、
的坐标分别为
、
，点
的坐标为
．
当
时，设直线的斜率为
，则的方程为
．
由已知
，
①
，
②
由①得
， ③
由②得
，
④由③、④及
，得点的坐标满足方程
．
⑤
当
时，不存在，此时平行于轴，因此
的中点一定落在轴上，即的坐标为（
）．显然点的坐标满足方程⑤．
综上所述，的坐标满足方程 ．
设方程⑤所表示的曲线为
，则由
得 
．
因为
，由已知≤1，所以当=1时，
，曲线与椭圆
有且只有一个交点．
当＜1时，
，曲线与椭圆没有交点．
因为（0，0）在椭圆内，又在曲线上，所以曲线在椭圆内．故点的轨迹方程为．
（2）由
解得曲线与轴交于点
、
．
由
解得曲线与
轴交于点、
．
当
，即点为原点时，、与重合，曲线与坐标轴只有一个交点．
当
，且
≤
，即点不在椭圆外且在除去原点的轴上时，点与重合，曲线与坐标轴有两个交点与．
同理，当
，且
≤1，即点不在椭圆外且在除去原点的轴上时，曲线与坐标轴有两个交点与．
当<1,且
，即点在椭圆内且不在坐标轴上，曲线与坐标轴有三个交点、与．
22．（本小题满分13分）(2003北京春)
已知动圆过定点P（1，0），且与定直线
相切，点C在l上.
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（Ⅱ）设过点P，且斜率为－
的直线与曲线M相交于A，B两点.
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.
解：（Ⅰ）依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为
.
（Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为
消y得
所以A点坐标为
，B点坐标为（3，
），
假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则BC=AB且AC=AB，即
|
由①－②得
但
不符合①，
所以由①，②组成的方程组无解.
因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.
（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，
由
，
即当点C的坐标为（－1，
）时，A，B，C三点共线，故
.
又
，
，
.
当
，即
，
即
为钝角.
当
，即
，
即
为钝角.
又
，即
，
即
. 该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是
.
解法二：
以AB为直径的圆的方程为
.
圆心
到直线的距离为
，
所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G
.
当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G 点不重合，且A，B，C三点不共线时， ∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角.
因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.
过点A且与AB垂直的直线方程为
.
过点B且与AB垂直的直线方程为
.
令
.
又由
，所以，当点C的坐标为（－1，）时，A，B，C三点共 线，不构成三角形.
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是