第一学期期中考试高三数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。共150分。考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：1.答卷前，将自己的班级、姓名、学号填在试卷指定的位置上．
2.每小题选出答案后，填在答题卡指定的位置上．
一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)．
A．1 B．-1 C．
D．
(2)．已知集合
，若
，则实数
的值是
A．0 B．1 C．-1 D．1或-1
(3).已知
，且
，则
等于
A．
B．
C．
D．
(4)．函数
在区间
上是
A．增函数，且
B．增函数，且
C．减函数，且
D．减函数，且
(5).已知函数
是偶函数，当
时，
，则当
时 ，
A．
B．
C．
D．
(6)．数列
满足条件
，则该数列是
A．等差数列 B．等比数列
C．从第二项起是等差数列 D．从第二项起是等比数列
(7)． 已知
是可导的偶函数，且
，则
A．
B．
C．
D．
(８).设
,若
，则
的取值范围是
A. 
B. 
C. 
D. 
(９)．已知数列
成等差数列，
成等比数列，则
的值为
A．
B．
C．或 D．
(10)．已知
，则
的图象是
A． B． C． D．
（11）．若数列的前
项和
，则
的值为
A. 
B.
C. D. 
(12)．已知方程
有一根的范围是（2，4），则实数的值是
A. 
B. 
C. 
D. 
第Ⅱ卷（非选择题,共90分）
二．填空题: 本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
(13)．若等差数列中，
，则
.
(14)．若
，则
．
(15)．有6名学生借助互连网学习，每个学生上网的概率都是0.5（相互独立），设同时上网的人数为
．
=
；
= ．
（16）．已知定义在R上的偶函数满足
，且在区间[-1，0]上是增函数，给出下面关于的命题：①是周期函数；②在[1，2]上是减函数；③的图象关于
对称；④若
的反函数为
，则
的反函数为
．其中真命题的序号是
．
三．解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知
．
（Ⅰ）求的定义域，判断其奇偶性；
（Ⅱ）判断在定义域上的单调性，并证明之．
(18)(本小题满分12分)
数列中，
,数列
中，
．
（Ⅰ）求数列通项公式；
（Ⅱ）求数列通项公式与前项的和．
(19)(本小题满分12分)
设
．
：函数
在区间
上是增函数；
：不等式
的解集为R；
如果和有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
(20)(本小题满分12分)．
已知函数
是定义在R上的奇函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的反函数
及其定义域；
（Ⅲ）解关于
的不等式
．
(21) (本小题满分12分)
已知有三个镇分别位于A、B、C三地，若AB=AC，AD⊥BC，D为垂足，AD相距
km ,BC相距4km．现要在BC的垂直平分线上选一点P建一个变电站．
（Ⅰ）若
，点Ｐ距各镇多远时，才能使送变电线路最短；
（Ⅱ）要使点Ｐ到三镇的最远距离为最小，点Ｐ应位于何处？
(22) (本小题满分14分)
设
为函数
展开式中
的系数．
（Ⅰ）求
，
的值；
（Ⅱ）证明对任意
，
；
（Ⅲ）求
第一学期期中考试
高三数学答案
一、选择题：B C D B D D B C A C B C
二、
填空题：13、-60 14、 3 15、
,3 16、①③④
三、
解答题：
17、解：（1）∵
>0且x≠0 即
<0且x≠0∴-1<x<0或0<x<1
∴定义域为（-1，0）∪（0，1）
∵又f(-x)=
+ln
∴f(x)+f(-x)=ln1=0 即f(x)是奇函数.
（2）设x1,x2∈(0,1)，且x1<x2，则
f(x1)-f(x2)= 
+ln
+
-ln
=
+ln
∵0<x1<x2<1∴x1-x2<0,x1x2>0,0<1+x1<1+x2,0<1-x2<1-x1,∴0<
<1,0<
<1∴0<<1即ln<0 ∴f(x1)-f(x2)<0∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)在(0,1)上是增函数,又∵f(x)是奇函数∴f(x)在(-1,0)上也是增函数
18、解：（1）∵a1=3,an+1-2an=0∴{an}是首项为3，公比为2的等比数列∴an=3•2n-1
（2）∵bn•an=(-1)n ∴bn=(-1)n•
=(-1)n•
∴Sn=b1+b2+…+bn=-
+
+…+(-1)n=
=-
=
19、如果P是真命题，则a2-a-1>1∴a2-a-2>0∴a<-1或a>2又∵a>0∴a>2
如果q是真命题，则Δ=(a-1)2-4<0∴-1<a<3又∵a>0∴0<a<3
∵P与q中有且只有一个真命题，∴0<a≤2或a≥3 故a∈(0,2)∪[3,+∞]
20、解：（1）∵f(x)在R上有定义，且f(x)是奇函数∴f(0)=0∴a-1=0即a=1
（2）∵y=1-
∴2x+1=
∴2x=
∴x=log2
∴y=f-1(x)= log2(-1<x<1)
（3）∵f-1(x)<1∴log2<1∴>0且<2解得-1<x<
∴不等式f-1(x)<1的解集是(-1, )
21、解：（1）如图，设PD=xkm，供电线路总长为ykm，则
y=2
(0≤x≤6)∴y,=
令y,=0得2x=
，∴x=
∴当点P距A地6-km，距B、C两地都是
km时，供电线路最短。
, ≥a-x
（2）点P到三镇的最远距离为f(x)=
a-x. <a-x
由≥a-x得2ax≥a2-4即x≥
，∴当a≥2时，
在(,+∞)是增函数，a-x在(0, )上是减函数，∴当x=时，f(x)取最小值，此时P在D上方km处，又∵当0<a<2时，在x=0处取最小值2，而a-x在(-∞, )上是减函数，其最小值a-x>2此时点P与D重合。
22、解：（1）∵f2(x)=(1+2x)(1+22x)∴展开式中x2的系数为2•22∴a2=2•22=8
同理f3(x)=(1+2x)(1+22x)(1+23x)，∴展开式中x2的系数为2•22+(2+22)23
∴a3=2•22+(2+22)23=56
（2）①当n=2时，左=a2=8，右=
(22-1)(2-1)=8，∴左=右，即等式成立。
②假设当n=k(k≥2)时，等式成立，即ak=(2k-1)(2k-1-1)，
∴ak+1=ak+(2+22+…+2k)•2k+1=(2k-1)(2k-1-1)+
= (2k-1)(2k-1+
•2k+2)= (2k-1)(4•2k-1-1)=
(2k+1-1)(2k-1)
∴当n=k+1时等式成立，由①②可知对一切大于等2的正整数，等式均成立。
（3）∵an=(2n-1)(2n-1-1)∴
∴
=
=
∴
==