高三数学全国统一标准测试
命题范围：第九章 直线、平面、简单几何体 第十章 排列、组合与排率
一、选择题
1．若a1(x－1)4+a2(x－1)3+a3(x－1)2+a4(x－1)+a5=x4，则a2+a4等于
A.14 B.12 C.10 D.8
2．设正四棱锥底面边长为3，体积为
，则它的侧面与底面所成角的大小为
A.75° B.30° C.45° D.60°
3．在下列命题中，真命题是
A.若直线m，n都平行于平面α，则m∥n
B.设α－l－β是直二面角，若直线m⊥n, m⊥β，则n⊥α
C.若直线m，n在α内的射影依次是一个点和一条直线，且m⊥n，则n在α内或n与α平行
D.设m，n是异面直线，若m平行于平面α，则n必与α相交
4．已知圆锥的侧面展开图扇形圆心角为180°，则这个圆锥的轴截面顶角为
A.45° B.120° C.60° D.90°
5．如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有
A.12对 B.24对 C.36对 D.48对
6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任一点，则直线OP与直线AM所成角为
A.
B.
C. 
D.
7．把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误种数是
A.20 B.19 C.10 D.9
8．中央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自四个单位，分别在图中四个区域内坐定.有4种不同种颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法共有_________种
A.24
B.36
C.48
D.84
9．对于不共面的三个向量a，b，c，下列命题正确的是
A.（a·b）2·c=（a2·b2）·c B.总可以找到两个实数λ、μ，使c=λa+μb
C.这三个向量不能相加
D.对空间任意向量d，存在有序实数组x1、x2、x3、x4，使x1d=x2a+x3b+x4c，其中x1
不等于零
10．在有太阳的时候，一个大球放在地面上，球的影子伸到距球与地面的接触点10米处，同一时刻，一根长1米，一端接触地面而垂直于地面的尺子的影子长度是2米，则球的半径是
A.2.5米 B.10
－20米 C.6－
米 D.9－4米
11．某体育彩票规定：从01~36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想从01~10的10个号中选3个连续的号，从11~20中选2个连续的号，从21~30中选1个号，从31~36中选1个号组成一注，则此人要把满足这种要求的号买全，至少要花
A.3366元 B.6720元 C.4320元 D.8640元
12． 如图，在一个倒置的正三棱锥容器中，放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是
二、填空题（本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上.）
13.某学生从六门学科A、B、C、D、E、F中选学两门，但A与B，C与D由于时间冲突不能同时选学，则学生可能有的选法有______种.
14．若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是______.(只要写出一个可能的值)
15.太阳光线照于地面，与地面成角α(0＜α＜),当长度是定值a的木棍与地面所成角为______时，木棍在地面上的射影最长.
16．甲射击命中目标的概率是
，乙射击命中目标的概率是
，丙射击命中目标的概率是
，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为______.
三、解答题(本大题共6小题；共74分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17．（本小题满分12分）
已知整式函数f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m，n∈N*)的展开式为f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+amxm,已知a1=17.
(1)求f(x)中x2项系数的最小值；
(2)求a5；
(3)求f(x)中所有x的指数是奇数的项的系数和.
18．（本小题满分12分）
从三棱锥P－ABC（如图1）的顶点沿着三条侧棱PA,PB,PC剪开，成平面图形，得到△P1P2P3（如图2），且P1P2=P2P3；
图1 图2
（1）在棱锥P－ABC中，求证：PA⊥BC；
（2）P1P2=26，P1P3=20，求三棱锥的体积.
19.（本小题满分12分）
用1，2，3，4，5这五个数组成无重复数字的五位数，按由小到大的顺序排列.
（1）32154是第几个数？
（2）第20个数是几？
20．（本小题满分12分）
有一问题，在半小时内，甲能解决它的概率是0.5，乙能解决它的概率是，如果两人都试图独立地在半小时内解决它，计算：
（1）两人都未解决的概率；
（2）问题得到解决的概率.
21.(本小题满分12分)
已知长方体AC1中，棱AB＝BC＝3，棱BB1＝4，连结B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F.
(Ⅰ)求证A1C⊥平面EBD；
(Ⅱ)求ED与平面A1B1C所成角的大小；
(Ⅲ)求棱锥C－BDE的体积.
参 考 答 案
一、1.D 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.B 8.D 9.D 10.B 11.D 12.B
二、13.13 14.
或
或
15.－α 16.
三、17.解：（1）
=17,∴m+n=17 2分
x2的系数为：
=m2－17m+136=(m－
)2+63
∴m=8或m=9时，x2项的系数最小，最小值为64. 6分
（2）当m=8时n=9;当m=9时n=8,∴a5=
=182 8分
（3）f(x)=(1+x)8+(1+x)9
∴所有项的系数和为f(1)=28+29=768; 10分
又f(－1)=0,∴f(x)中所有x的指数是奇数的项的系数和为：
f(1)=384 12分
18.解：（1）由展开过程可知，图2中A、B、C分别是边P1P3、P1P2、P2P3的中点，又P1P2=P2P3，故AB=AC. 2分
在图1中，取BC中点H，连AH、PH，
∵AH⊥BC，PH⊥BC， 5分
∴BC⊥面PAH，即得PA⊥BC. 7分
（2）由（1）知BC⊥面PAH，在图1中可知，PB=PC=AB=AC=13，BC=10，PH=HA=12，
S△PAH=5
， 10分
∴V=S△PAH·BC=
. 12分
19.解：(1)1或2排在万位的五位数比32154小，有2
=48个； 2分
3排在万位，1排在千位的五位数比32154小，共有
=6个； 4分
3、2、1依次排在前三位的有两个32145，32154；故有55个比32154小，所以32154是第56个. 6分
(2) 1排在万位的五位数有=24，故第20个数的万位必是1； 8分
1排在万位，2、3、4分别排在千位的五位数共有3=18个； 10分
因此第19个数为15234，第20个数为15243. 12分
20.解：（1）设在半小时内甲能解决该问题是事件A，乙能解决该问题是事件B，那么两人都未解决该问题就是事件
·
， 3分
由于两人是相互独立的求解的，我们得到
P（·）=P（）·P（）=［1－P（A）］［1－P（B）］=（1－）（1－）
=. 8分
(2)“问题得到解决”这一事件的概率为：
1－P（·）=1－=
. 12分
21.解：(Ⅰ)连结AC，则AC⊥BD，又AC是A1C在平面ABCD内的射影
∴A1C⊥BD；
又∵A1B1⊥面B1C1CB，且A1C在平面B1C1CB内的射影B1C⊥BE，
∴A1C⊥BE，又∵BD∩BE=B∴A1C⊥面EBD. 4分
(Ⅱ)连结DF，A1D，∵EF⊥B1C，EF⊥A1C，
∴EF⊥面A1B1C，
∴∠EDF即为ED与平面A1B1C所成的角. 6分
由条件AB=BC=3，BB1=4，可知B1C=5，BF=
，B1F=
，CF=
，EF=
·BF
=
，EC=·BB1=
∴ED=
∴sinEDF=
，
∴ED与平面A1B1C所成角为arcsin
9分
（Ⅲ）V棱锥C－BDE=V锥E－BCD=S△BCD·EC=××3×3×=
. 12分
22.解：（1）以C为原点CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O－xyz. 2分
则B(0，1，0)，N(1,0,1)， 4分
可求得
=
； 6分
（2）由A1（1，0，2）、B(0，1，0)、C(0，0，0)、B1(0，1，2)，
得
=（1，－1，2），
=（0，1，2）， 8分
从而得cos<
>=
； 10分
（3）又C1(0，0，2)、M(0.5，0.5，2),
得
=（－1，1，－2），
=（0.5，0.5，0） 12分
所以·=－0.5+0.5+0=0,
所以⊥. 14分