高考数学仿真试题(一)A
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至8页。共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型(A或B)用铅笔涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
三角函数的积化和差公式
正棱台、圆台的侧面积公式
Ｓ台侧＝
（ｃ′＋ｃ）ｌ
其中ｃ′、ｃ分别表示上、下底面周长,l表示斜高或母线长
台体的体积公式
V台体＝
其中Ｓ′、Ｓ分别表示上、下底面积，h表示高
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)若集合Ｍ＝｛ｘ,y,z｝，集合Ｎ＝｛３，０，－３｝，f是从M到N的映射，则满足f(x)+f(y)+f(z)=0的映射有
(A)6个 (B)7个 (C)8个 (D)9个
(2)已知集合Ｍ＝｛ｚ｜｜ｚ｜≤２｝，Ｎ＝｛ｚ｜ａｒｇ（ｚ＋１）≤
｝，则M∩N在复平面上对应的图形面积是
(A)２π
(B)
(C)
(D)
(3)如果函数f(x)是R上的奇函数，在(-1，0)上是增函数，且f(x+2)=-f(x)，则下列关系中正确的是
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
(4)使ｓｉｎｘ≤ｃｏｓｘ成立的x的一个区间是
(A)
(B)
(C)
(D)［０，π］
(5)设函数f(x)=
（ａ为大于1的常数），则使f－１（ｘ）＞１的x取值范围是
(A)
(B)
(C)
(D)（ａ，＋∞）
(6)若无穷等比数列｛ａｎ｝的前n项和为Ｓｎ，各项和为S，且Ｓ＝Ｓｎ＋２ａｎ，则
｛ａｎ｝的公比为
(A)
(B)
(C)
(D)
(7)一棱锥被平行于底面的平面截成一个小棱锥和一个棱台，若小棱锥及棱台的体积分别是y和x，则y关于x的函数图象大致形状为
(8)在正三棱锥P—ABC中，E、F分别为PA、AB的中点，∠ＣＥＦ＝９０°，若ＡＢ＝ａ，则该三棱锥的体积为
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
(9)4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元，而6个茶杯与3包茶叶的价格之和大于24元，则2个茶杯和3包茶叶的价格比较
(A)2个茶杯贵 (B)3包茶叶贵 (C)相同 (D)无法确定
(10)已知圆x２＋y２＝５ｘ内，过点(
)有n条弦的长成等差数列，最短弦长为数列的首项ａ１，最长弦长为ａｎ，若公差ｄ∈（
），那么n的值构成的集合为
(A)｛６，７，８，９｝ (B)｛３，４，５，６｝
(C)｛３，４，５｝ (D)｛４，５，６｝
(11)已知集合Ａ＝｛１，２，４，８，…，２ｎ｝（ｎ≥３，ｎ∈Ｎ），集合A中含有三个元素的所有子集依次为Ｂ１，Ｂ２，…，Ｂｍ.若Ｂｉ中所有元素之和为ａｉ（ｉ＝１，２，…，ｍ）则
(A)2 (B)1 (C)0 (D)不存在
(12)对一切实数x，不等式x４＋ax２＋１≥０恒成立，则实数a的取值范围是
(A)（－∞，－２） (B)［－２，＋∞］
(C)［０，２］ (D)［０，＋∞］
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
(13)P是以Ｆ１、Ｆ２为焦点的双曲线上一点，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，且ｔｇＰＦ１Ｆ２＝，
则双曲线的离心率等于 .
(14)若已知a＞b＞ｃ，则
的最小值是
.
(15)两腰长均是1的等腰Ｒｔ△ＡＢＣ１和等腰Ｒｔ△ＡＢＣ２所在平面成６０°的二面角，则两点Ｃ１与Ｃ２的距离是 .(写出所有可能的值)
(16)已知（１＋ｘｉ）４ｎ＋２（ｘ∈Ｒ，ｉ２＝－１）展开式中的实数关于x的多项式，则此多项式系数和为 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)
设函数
,给出以下四个论断：
(Ⅰ)它的图象关于直线
对称；
(Ⅱ)它的图象关于点（
，０）对称；
(Ⅲ)它的周期为π；
(Ⅳ)它在区间［－
，０］上是增函数.
以其中的两个论断为条件，余下的论断为结论，写出你认为正确的两个命题，并对其中一个命题加以证明.
(18)(本小题满分12分)
数列｛ａｎ｝的前n项和为Ｓｎ，又数列｛ｂｎ｝满足ｂｎ＝
（ｒ为确定的值），求ｒ的值，并证明｛ａｎ｝是等差数列.
(19)(本小题满分12分)
如图，
边长为a的菱形ABCD中，Ａ＝６０°，又PA⊥面ABCD，PA=a,E为CP中点，
(Ⅰ)求证：面ＢＤＥ⊥面ABCD；
(Ⅱ)求PB与面BDE所成的角大小；
(Ⅲ)求二面角B—DE—C的大小.
(20)(本小题满分12分)
现有流量均为３００ｍ３／ｓ的两条河流A、B，汇合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为２ｋｇ／ｍ３和０．２ｋｇ／ｍ３，假若从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在汇经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交流100ｍ３的水量，即从A股流入B股１００ｍ３水，经混合后，又从B股流入A股100ｍ３水并混合. (Ⅰ)问从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0．０１ｋｇ／ｍ３，(不考虑沙沉淀)；
(Ⅱ)随着两股水流的不断混合，它们的含沙量趋向于一个常数，试求出这个常数.
(21)(本小题满分12分)
已知A、B是椭圆
上的两个点，O为坐标原点.
(Ⅰ)若ＯＡ⊥ＯＢ，｜ＡＢ｜＝
，求直线OA、OB的方程；
(Ⅱ)(文科不做，理科做)若ＯＡ⊥ＯＢ，求△AOB面积的最小值.
(22)(本小题满分14分)
(理科做)设f(x)=ax２＋ｂx+c(a,b,c∈Ｒ)在区间［０，１］上恒有f(x)≤１．
(Ⅰ)对所有这样的f(x)，求a+b+c最大值；
(Ⅱ)试给出一个这样的f(x)，使a+b+c确定达到上述最大值.
(文科做)已知一次函数y=kx+c(c＞０)，二次函数y=x２的图象交于A、B两点，
(Ⅰ)若k、c为已知常数，求线段AB长度｜ＡＢ｜；
(Ⅱ)若k、c为变动的实数时（ｃ＞０），求证：
仅当０＜ｃ＜１时，有两个k值使｜ＡＢ｜＝２．
参考答案
一、选择题
(1)Ｂ
提示：满足3+0+(-3)=0有
＝６个；满足０＋０＋０＝０有1个，由加法原理共有
6＋１＝７个.
(2)Ｃ
提示：满足条件的点集为图中阴影部分，其面积为
．
(3)Ｄ
提示：因f(x)是（－１，０）上的增函数，且f(x)在R上是奇函数，
∴由f(-x)=-f(x)取ｘ＝０得f(0)=0
即图象过原点，且f(x)在(0，1)上也是增函数
又
即
(4)Ａ
提示：利用单位圆中的三角函数线，画图采用排除法.
(5)Ａ
提示：即求x＞１时，y的取值范围
∵
在ａ＞１条件下，是R上递增函数
∴ｘ＞１时，
故原不等式解集为（
）
(6)Ｂ
提示：由Ｓ＝Ｓｎ＋２ａｎ，Ｓ＝Ｓｎ－１＋２ａｎ－１
得０＝ａｎ＋２ａｎ－２ａｎ－１
∴
(7)Ｂ
提示：设原棱锥的体积为V，则x+y=V
即y=V-x(0＜ｘ＜Ｖ＝，故选Ｂ．
(8)Ｂ
提示：∵Ｐ—ＡＢC为正三棱锥，
∴ＰＢ⊥ＡＣ，又ＥＦ∥ＰＢ，∴ＥＦ⊥ＡＣ
又∠ＣＥＦ＝９０°，∴ＥＦ⊥ＣＥ
∴ＥＦ⊥平分ＰＡＣ，∴ＰＢ⊥平面PAC
故ＰＢ⊥ＰＡ，ＰＢ⊥ＰＣ，ＰＡ⊥ＰＣ
∵AB=a,∴ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝
∴ＶＰ－ＡＢＣ＝
(9)Ａ
提示：设一个茶杯和一包茶叶的价格分别为x,y元，则有
由②得2x+y＞８ ③
由③得－４ｘ－２ｙ＜－１６ ④
①＋④得３ｙ＜６
由③得－１０ｘ－５ｙ＜－４０ ⑤
①＋⑤得２ｘ＞６，故选Ａ
(10)Ｄ
提示：∵最长弦为过点()圆的直径，过点()与最长弦垂直的弦最短.
∴ａｎ＝５，ａ１＝４
由ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）·ｄ，知５＝４＋（ｎ－１）ｄ
ｄ＝
，∴ｎ＝４，５，６．
(11)Ｃ
提示：∵集合A中含有1的三元子集有
个；同样含有其他任意给定元素的三元子集有个
∴ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝（１＋２＋…＋２ｎ）＝（２ｎ＋１－１）
∴原式＝０
(12)Ｂ
提示：若ｘ＝０，不等式恒成立
x≠０时，
∵ｘ２＋
≥２，∴ａ≥－２．
二、填空题
(13)
提示：设P在右支上，F１为左焦点，且｜ＰＦ１｜＝ｍ，｜ＰＦ２｜＝ｎ，则
消去m、n得
(14)9
提示：∵ａ＞ｂ＞ｃ，∴ａ－ｂ＞０，ｂ－ｃ＞０，ａ－ｃ＞０
∴ａ－ｃ－
(15)
．
提示：分三种情况讨论.
(16)0
提示：即在（１＋ｘｉ）４ｎ＋２中取x=1考查（１＋ｉ）４ｎ＋２展开式中的实部，那么由棣模佛定理得（１＋ｉ）４ｎ＋２＝（２ｉ）２ｎ＋１＝２２ｎ＋１·（－１）ｎ·ｉ它的实部为0，故所求多项式系数和为0.
三、解答题
(17)两个正确命题为
(Ⅰ)①③
②④
(Ⅱ)②③①④
(Ⅰ)证明如下：由③函数f(x)周期为π，则ω=2
∴f(x)=ｓｉｎ（２ｘ＋φ）
由①函数f(x)的图象关于直线
对称，
则２×＋φ＝２ｋπ±，又－＜φ＜
取k=0，且２×
＋φ＝，得φ＝，
∴f(x)=ｓｉｎ（２ｘ＋）
当x=时，则f(x)=ｓｉｎ（２×＋）＝０
∴f(x)图象关于点（，０）对称，即②成立
下面证明在［－，０）上是增函数
由２ｋπ－≤２ｘ＋≤２ｋπ＋（ｋ∈Z时）f(x)分别为增区间，
故ｋπ－
（ｋ∈Ｚ）为f(x)的增区间.
取k=0，得［－
，而［－，０
［－
∴f(x)在［－，０］上是增函数.
(18)由已知有Ｓｎ＝ｎｒａｎ，令n=1，得
ａ１＝Ｓ１＝ｒａ１（ｒ－１）ａ１＝０
（Ⅰ）当r=1时，有Ｓｎ＝ｎａｎ，再与Ｓｎ＋１＝（ｎ＋１）ａｎ＋１相减，
有ａｎ＋１＝（n+1）an＋１－nan
得ａｎ＋１－ａｎ＝０
∴ｒ＝１时，｛ａｎ｝为常数列，即为等差数列.
(Ⅱ)r≠１时，有ａ１＝０，由ａ２＝Ｓ２＝２ｒａ２及r为确定值，得r=,且a２≠０
将Ｓｎ＝ｎａｎ与Ｓｎ＋１＝（ｎ＋１）ａｎ＋１相减，
有２ａｎ＋１＝（ｎ＋１）ａｎ＋１－ｎａｎ
得
∴
故
时，｛ａｎ｝为首项a１＝０，公差为a２的等差数列.
(19)(Ⅰ)连结AC，记ＡＣ∩ＢＤ＝O，由菱形知
|
(Ⅱ)设点P到面BDE的距离为d，PB与面BDE所成角为θ，则ｓｉｎθ＝
，
而ＰＡ∥ＥＯ
ＰＡ∥面BDE，ＰＡ⊥面ABCD
|
从而PB与面BDE所成角为
.
（Ⅲ）由(2)知ＡＯ⊥面BDE，即ＣＯ⊥面BDE，作ＯＨ⊥DE于H，连CH，则ＣＨ⊥ＤＥ，故∠ＯＨＣ是二面角Ｂ′—ＤＥ—Ｃ的平面角.
在截面△BDE中，易求得ＤＯ＝
则
又
在Ｒｔ△ＣＯＨ中，由ｔｇＯＨＣ＝
∴二面角B—DE—C大小为ａｒｃｔｇ
．
(２０)(Ⅰ)设含沙量为aｋｇ／ｍ３，ｂｋｇ／ｍ３的两股水流在单位时间内流过的水量分别为ｐｍ３，ｑｍ３，则根据化学知识，其混合后的含沙量为ｋｇ／ｍ３，又设第n个观测点处A股水流含沙量为ａｎｋｇ／ｍ３，B股水流含沙量为ｂｎｋｇ／ｍ３，(ｎ∈Ｎ)
则ａ１＝２，ｂ１＝０．２
即
∴
①
②
由①－②得
即数列（ａｎ－ｂｎ）是以1.8为首项，为公比的等比数列
∴
由已知ａｎ－ｂｎ＜０．０１２ｎ－１＞１８０
∴ｎ≥９
即从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于０．０１ｋｇ／ｍ３．
(Ⅱ)由①＋②得：ａｎ＋ｂｎ＝ａｎ－１＋ｂｎ－１
即｛ａｎ＋ｂｎ｝是常数列，∴ａｎ＋ｂｎ＝２．２ ④
由③＋④得
∴
即两股水流含沙量最终趋向于一个常数，这个常数为１．１ｋｇ／ｍ３．
(21)(Ⅰ)设OA直线为y=kx，OB直线为y=-
，设A(x１,y１)、Ｂ（ｘ２，ｙ２）
∵｜ＯＡ｜２＋｜ＯＢ｜２＝｜ＡＢ｜２
∴
③
由
由
④
将④代入③得：
∴OA、OB方程分别为
；
.
(Ⅱ)以x=ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ代入
设A（ρ１，α），则B（ρ２，９０°＋α）
∴
＝４５°取等号）
故OA方程为y=±x时，(Ｓ△ＡＯＢ)ｍｉｎ＝．
(22)(理科做)(Ⅰ)依题设有f(0)=c≤１；f(1)=a+b+c≤１；
于是a+b=a+b+c-c≤a+b+c+c≤２
从而ab≥０时a+b=a+b
∴a+b+c=a+b+c≤２＋１＝３．
当ａｂ＜０时，a+b=a-b
∴a+b+c=a-b+c≤１６+１＝１７
即ｍａｘ｛a+b+c｝＝１７
(Ⅱ)取a=8，b=-8,c=1时，
∴当ｘ∈［０，１］时有｜８ｘ２－８ｘ＋１｜≤１
此时a+b+c=8+8+1=17.
(文科做)(Ⅰ)将y=kx+c代入y=x２中得：x２－ｋｘ－ｃ＝０
设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）ｘ１＋ｘ２＝ｋ，ｘ１ｘ２＝－ｃ
（Ⅱ）令
①
Δ＝１６ｃ２－８ｃ＋１７恒大于0，①永远有解
且
①当ｃ∈（０，１）时
必存在两个k满足上式
②当c=1时，ｋ２＝０ｋ＝０仅一个k值
③当c＞1时，
无解，故命题成立.