课时7 复数的有关概念
一．复习目标
了解引进复数的必要性；理解复数的有关概念；掌握复数的代数表示及向量表示。
二．例题讲解
例1．下列四个命题中是真命题的是（ D ）
A．
的共轭复数是
B．若两个复数的差的纯虚数，则它们一定为共轭复数
C．若两个复数的和为实数，则它们为共轭复数
D．若两个虚数的和与积都为实数，则它们为共轭复数
例2．实数
分别取什么数值时，复数
是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）对应点在
轴上方；（5）对应点在直线
上。
解：（1）由
，得知：
或
时，
为实数；
（2）由
，得知：
且
时，为虚数；
（3）由
，得
时，为纯虚数；
（4）由
，得知：
或
，的对应点在直线上。
例3．设关于的的方程是
；
（1）若方程有实数根，求锐角
和实数根；
（2）证明：对任意
，方程无纯虚根。
解：（1）设实数根是
，则
，即
，∵、
，
∴
且
，又
，∴
；
（2）若有纯虚数根
，则
，
∴
，且
这不可能。
例4．已知
，其中
，且
为纯虚数。
（1）求
的对应点的轨迹；
（2）求
的最大值、最小值。
解：设
，则
∵为纯虚数，∴
的对应点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，并除去(-3,0)，(3,0)两点。
（2）由的轨迹可知
∴
，圆心对应
，半径为3。
∴的最大值为9，最小值为3。
三、同步练习：《高考三人行—学生用书》P362
课时8 复数的代数形式及其运算
一、复习目标
熟练掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算法则，灵活利用
、
的性质，或适当变形，创造条件，从而转化为关于、的计算问题，同理要注意复数整体思想的把握以及复数运算几何意义的利用。
二、例题讲解
例1．（1）对于
，下列列结论成立的是（ D ）
A．是零 B．是纯虚数 C．是正实数 D．是负实数
（2）
的值为（ B
）
A．-2 B．0 C．2 D．4
（3）设非零复数、
满足
则代数式
的值是（ B ）
A．
B．-1
C．1
D．0
（4）已知函数
，则
的值是_____________(
)
例2．设为虚数单位，复数和满足
。
（1）若和又满足
，求和的值。
（2）求证：如果
，那么
的值是一个常数，并求这个常数。
解：（1）∵，∴
，代入得：
即
，
设
，则上式可变为：
。
∴
或
。
∴
或
。
（2）法一：由有
设，则有
，
∴
，
∴的值是一个常数，且等于
。
证法二：由有
，
所以，
，以下同上。
例3．设是虚数，
是实数，但
，
（1）求的值及的实部的取值范围；
（2）设
，求证：
为纯虚数；
（3）求
的最小值。
（1）解：=1，的实部的取值范围是
（2）证明：略
（3）解：的最小值为1。