高三数学质量检测1

高三数学质量检测1

数　学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题　共60分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

P（k）=CP（1－P）

正棱锥、圆锥的侧面积公式S=cl　　其中c表示底面周长，l 表示斜高或母线长

球的体积公式V=　其中R表示球的半径

一、　　　　　　 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1．已知集合M={xx－a=0}，N={xax－1=0}，若MN=N，则实数a的值是

　　　 A．1　　　　　　　　　　 B．-1　　　　　　　　　　C．1或-1　　　　　　　　　　D．0或1或-1

2．若椭圆+=1过点（-2，），则其焦距为

　　　 A．2　　　　　　　 B．2　　　　　　　 C．4　　　　　　　　　　　D．4

3．已知直线l：Ax+By+C=0，l：Ax+By+C=0，则=－1是ll的

　　　 A．充分不必要条件　　　　　　　　　　　　　B．必要不充分条件

　　　 C．充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．既不充分也不必要条件

4． 两非零复数z 、z分别对应向量、，若 z＋z = z－z，则向量与

　　　 的关系

　　　 A．=　　　　　　　　　　　　B．=

C．　　　　　　　　　　　D．与共线

5．用1，2，2，3，3，3这六个数字组成的不同六位数共有

　　　 A．20个　　　　　　　 B．60个　　　　　　　 C．90个　　　　　　　　　　　D．120个

6．若log（a+1）<log2a<0，则a的取值范围是

　　　 A．0<a<1　　　　　　 B．0<a<　　　　　 C．<a<1　　　　　　　　　D．a>0且a1

7．已知函数y=f（x）对任意实数都有f（－x）= f（x），f（x）= －f（x+1）且在[0，1]上单调递减，则

　　　 A．f（）< f（）< f（）　　　　B．f（）<f（）<f（）

　　　 C．f（）<f（）<f（）　　　　　D．f（）< f（）< f（）

8．把函数y=cos x的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移个单位，则所得图形表示的函数的解析式为

　　　 A．y=2sin 2x　　　　B．y=－2sin 2x 　　　　　C．y=2cos（x+）　　　　　 D．y=2cos（+）

9．若曲线f（x）=x－x在点P处的切线平行于直线3x－y=0，则点P的坐标为

　　　 A．（1，3）　　　　　B．（－1，3）　　　　　　　C．（1，0）　　　　　　　　　　　　D．（－1，0）

10．如图正方体ABCD—ABCD中，E、F分别是正方形ADDA和ABCD的中心，G是CC的中点，

　　　 设GF、CE与AB所成的角分别为、，则+等于

　　　 A．120°　　　　　　　B．90°　　　　　　　　　　　 C．75°　　　　　　　　　　　　　　 D．60°

11．若集合A、A满足A A=A，则称（A，A）为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A=A

　　　 时，（A、A）与（A、A）为集合A的同一种分拆，则集合A={a，a，a}的不同分拆种数是

　　　 A．27　　　　　　　　　 B．26　　　　　　　　　　　　　C．9　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．8

12．如图所示，正方形ABCD的中心是A，ABCD也是正方形，若正方形ABCD的面积是1，且AB>AB，AE>BE，两正方形的公共部分四边形AEAF的面积为S，则

　　　 A．S=　　　　　　　　　　 B．S>

　　　 C．S<　　　　　　　　　　 D．S的大小由正方形ABCD的大小与AE的大小而定

第I卷（选择题　共90分）

二、　　　　　　 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

13．复数满足i－=1，arg（1－）=，则的值　　　　　　  。

14．若对n个向量a，a，…，a存在n个不全为零的实数k，k，…，k，使得ka+ ka+…+

　　ka =0成立，则称向量a，a，…，a为“线性相关”。依此规定，能说明a=（1，0），a=（1，－1），a=（2，2）“线性相关”的实数k，k，k依次可以取　　 　　　　　（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）。

15．对于实数x、y，定义新运算xy=ax+by+1，其中a、b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，若35=15，47=28，则11=　　　　  。

16．设、表示平面，l表示不在内也不在内的直线，存在下列三个事实，①l，②l//，③，若以其中两个作为条件，别一个作为结论，可构成三个命题，其中真命题是　　　　。（要求写出所有真命题）

三、　　　　　　 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球。

（1）　　　 从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；

（2）　　　 从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率。

18．（本小题满分12分）

　　　 数列{a}中，a=1，n2时，其前n项的和S满足S= a（S－）

（1）　　　 求S的表达式；

（2）　　　

limT n

设b=，数列{ b}的前n项和为T，求　　　　。

19．（本小题满分12分）

　　　 在RtABC中，ACB=30，B=90，D为AC中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，

　　　 将ABD沿BD折起，二面角A－BD－C大小记为。

（1）　　　 求证：面AEF面BCD；

（2）　　　 为何值时，ABCD。

20．（本小题满分12分）

　　　 在中国轻纺市场，当季节即将来临时，季节性服装价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，

　　　 并且每周（七天）涨价2元，5周后保持20元的价格平稳销售，10周后当季节即将过去时，平均每

　　　 周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售。

（1）　　　 试建立价格P与周次t的函数关系；

（2）　　　 若此服装每件进价Q与周次t之间的关系Q=－0.125（t－8）+12，t∈[0，16]，t∈N。试问该服装第几周每件销售利润L最大？

21．（本小题满分12分）

　　　 设双曲线C的中心在原点，以抛物线y=2x－4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲

　　　 线的右准线。

（1）　　　 试求双曲线C的方程；

（2）　　　 设直线l：y=2x+1与双曲线C交于A、B两点，求AB；

（3）　　　 对于直线y=kx+1，是否存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点A、B关于直线y=ax（a为常数）对称，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

22．（本小题满分14分）

　　　 对于函数y=f（x），若存在实数x，满足f（x）= x，则称x为f（x）的不动点，已知F（x）=

f（x），F=f [F（x）]，F（x）=f [F（x）]，…，F（x）=f [F（x）]（nN n2）。

（1）　　　 若f（x）存在不动点，试问F（x），F（x），…，F（x）是否也存在不动点？写出你的结论并加以证明：

（2）　　　 设f（x）=2x－x，求使所有F（x）<0（nN n2）成立的所有正实数x值的集合。

高三质量检测答案

1．D　　　a=0时，N为空集。

2．D

3．A　　　 A=0，B=0时，l与l垂直。

4．C　　　 对角线相等的四边形为矩形。

5．B　　　 6！/（2！3！）

6．C　　　 直接解不等式或者特殊值法。

7．B　　　 f（x）为以2为周期的偶函数，图象法。

8．B

9．C　　　 f（x）=3

10．B

11．A　　 1C+2C+2C+2C

12．A　　 如图，延长DA交CD于E，延长BA交BC于F，则根据对称性，正方形被分成四个全等的四边形。

13．1+i

14．只要写出－4c，2c，c中一组即可，如－4，2，1等。

15．－11

16．①②③，①③②

17．（1）记“摸出两个球，两球恰好颜色不同”为A，摸出两个球共有方法C=10种，其中，两球一白一黑有C·C=6种，

　　　　　　P（A）==

　　（2）记摸出一球，放回后再摸出一个球“两球恰好颜色不同”为B，摸出一球得白球的概率为=0.4,

　　　　　　　摸出一球得黑球的概率为=0.6，

　　　　“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”， P（B）=0.4×0.6+0.6×0.4=0.48

18．（1）n2，S=（S－S）（S－）

　　　　 S=－

　　　　　　　即=2（n2）

　　　　　　　=2n－1　　 S=

（2）b=

　　 T=…+=

　　 lim T=

19．（1）证明：在RtABC中，C=30，D为AC的中点，则ABD是等边三角形又因E是BD的中

　　　　　　　点， BDAE，BDEF，折起后，AEEF=E， BD面AEF BD面BCD，面AEF　　　　　　面BCD。

（2）过A作AP面BCD于P，则P在FE的延长线上，设BP与CD相交于Q，令AB=1，则ABD

　　　　　　　是边长为1的等边三角形，若ABCD，则BQCDPE=AE=又AE=

　　　　　　　折后有cosAEP==

　　　　　　　由于AEF=就是二面角A－BD－C的平面角，

0t5 6t10 11t16

　　　　　　　当=－arccos时，ABCD

0t5 6t10 11t16

20．（1）P=　　　　　　　　 　　　　　　　　　　P－Q=

　　　 （2）t=5时，L=9，即第五周销售利润最大。

21．（1）由抛物线y=2x－4，即y=2（x－），可知抛物线顶点为（，0），准线方程为

　　　　　　　x=。

　　　　　　　在双曲线C中，中心在原点，右焦点（，0），右准线x=，

　　　　　

　　　双曲线C的方程3x－y=1

　　　（2）由3x－（2x+1）=1x+4x+2=0

　　　AB=2

　　　（3）假设存在实数k，使A、B关于直线y = ax对称，设A（x，y）、B（x，y），则

③

②

①

　　　

④

　　　　由

⑤

　　　　由②③，有a（x+x）=k（x+x）+2

　　 由④知：x+x=代入⑤

　　　　整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k，使A、B关于直线y = ax对称。

22．（1）y=f（x）存在不动点x，则f（x）= x，下证x是F（x）的不动点

　　　　F（x）=f [ F（x）]=f [ f（x）]= f（x）= x

　　　 　　x也是F（x）的不动点

　　　 若F（x）存在不动点x，即F（x）= x

　　　  F（x）=f [ F（x）]= f（x）= x

　　　 即F（x）也存在不动点x

　　　 综上，由数学归纳法知F（x）（nN n2）都存在不动点，并且有相同的不动点

（2）解不等式f（x）<0，即2x－x<0

　　　　得x>2或x<0

　　　　　　　要使F（x）<0（n2），即f [ F（x）]<0，即2 F（x）－[ F（x）]<0

　　　　　　　得F（x）<0或F（x）>2

　　　　　　　依类推，要使F（x）<0，即f [ F（x）]<0，即f [ f（x）]<0

　　　　　　　即2f（x）－[ f（x）]<0，得f（x）<0或f（x）>2

　　　　　　 由2x－x<0得，x>2或x<0（舍去，x为正实数）

　　　　　　　由2x－x>2得

　　　　　 所求x的取值集合为（2，+）

　　　　另解：显然，f（x）<0的解集为（－，0）（2，+）

　　　　x=0，x=1，是y=f（x）的两个不动点，对于x<0，由数学归纳法不难得出F（x）<0

　　　　对于x>2有F（x）<0　　　 又x（0，1）时f（x）（0，1），

　　　　 F（x）= f [ f（x）] （0，1）

　　　　由数学归纳法不难得出：F（x）（0，1），当x（1，2）时，f（x）（0，1）

　　　　从而也可得出F（x）（0，1），而F（0）=0，F（1）=1，F（2）=2

　　　　　　　 F（x）<0成立的所有正实数x值的集合为（2，+）