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学科：数学 |
| 教学内容：参数方程、极坐标 |
一、考纲要求
1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.
2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.
二、知识结构
1.直线的参数方程
(1)标准式 过点Po(x0,y0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是
(t为参数)
(2)一般式 过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=
的直线的参数方程是
(t不参数) ②
在一般式②中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a2+b2=1,②即为标准式，此时， ｜ t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b2≠1，则动点P到定点P0的距离是
｜t｜.
直线参数方程的应用 设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是
(t为参数)
若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则
(1)P1、P2两点的坐标分别是
(x0+t1cosα,y0+t1sinα)
(x0+t2cosα,y0+t2sinα)；
(2)｜P1P2｜=｜t1-t2｜;
(3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则
t=
中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜｜
(4)若P0为线段P1P2的中点，则
t1+t2=0.
2.圆锥曲线的参数方程
(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是
(
是参数)
φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，∈［0,2π］(见图)
(2)椭圆 椭圆
=1(a＞b＞0)的参数方程是
(为参数)
椭圆 =1(a＞b＞0)的参数方程是
(为参数)
3.极坐标
极坐标系 在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫 做极轴.
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一 不可.
点的极坐标 设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度 ，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见图)
极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；
②极轴与x轴的正半轴重合
③两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
三、知识点、能力点提示
(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化
例1 在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.
解： 将圆的方程化为参数方程：
(θ为参数)
则圆上点P坐标为(2+5cosθ，1+5sinθ)，它到所给直线的距离为d=
=｜4cosθ+3sinθ +6｜=5·｜（
cosθ+
sinθ）+
｜ =5｜cos(φ-θ)+ ｜，其中cosφ=，sinφ= .故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d最长，这时，点A坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d最短，这时，点B坐标为(-2，2).
(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化
说明 这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出 现.
例2 极坐标方程表示的曲线C1∶ρ=f(θ),C2∶ρ=-f(π＋θ)必定是( )
A.关于直线θ=
对称
B. 关于极点对称
C.关于极轴对称 D.同一曲线
解：因(ρ，θ)与(-ρ，π+θ)表示相同的点，
故选D.
(三)综合例题赏析
例3 椭圆
(Φ是参数)的两个焦点坐标是( )
A.(-3，5)，(-3，-3) B.(3，3)，(3，-5)
C.(1，1)，(-7，1) D.(7，-1)，(-1，-1)
解：化为普通方程得
=1
∴a2=25,b2=9,得c2＝１６,c=4.
∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)
∴在xOy坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).
应选B.
例4 参数方程
(0 ＜θ＜2π)表示( )
A.双曲线的一支，这支过点(1，
)
B.抛物线的一部分，这部分过(1，)
C.双曲线的一支，这支过(-1，)
D.抛物线的一部分，这部分过(-1，)
解：由参数式得x2=1+sinθ=2y(x＞0)
即y=x2(x＞0).
∴应选B.
例5 曲线的参数方程为
(0≤t≤5)则曲线是( )
A.线段 B.双曲线的一支
C.圆弧 D.射线
解 消去t2得，x-2=3(y-1)是直线
又由0≤t≤5,得2≤x≤77,故为线段
应选A.
例6 下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同 一曲线的方程是( )
A.
B.
C.
D.
解：普通方程x2-y中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B. 中x=cost∈〔-1,1〕，故排除A.和B.
C.中y=
=ctg 2t=
=
，即x2y=1，故排除C.
∴应选D.
例7 曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化 成直角坐标方程为( )
A.x2+(y+2)2=4 B.x2+(y-2)2=4
C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=4
解：将ρ=
，sinθ=
代入ρ=4sinθ，得
x2+y2=4y，即x2+(y-2)2=4.
∴应选B.
例8 极坐标ρ=cos(
-θ)表示的曲线是( )
A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆
解：原极坐标方程化为ρ=
(cosθ+sin θ)；
ρ2=ρcosθ+ρsinθ，
∴普通方程为 (x2+y2)=x+y，表示圆.
应选D.
例9 在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切 的条直线的方程是( )
A.ρsinθ=2 B.ρcos θ=2
C.ρcosθ=-2 D.ρcosθ=-4
解：如图.
⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO⊥OX,OA为直径，｜OA｜=4,l和圆相切，l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l上任意一点，则有
cosθ=
，得ρcosθ=2，
∴应选B.
例10 极坐标方程4sin2θ=3表示曲线是 ( )
A.两条射线 B.两条相交直线
C.圆 D.抛物线
解：由4sin2θ=3,得4·
＝3,即y2=3
x2，y=±
x,它表示两相交直线.
∴应选B.
【同步达纲练习】
(一)选择题
1.点P的直角坐标为(1，-)，则点P的极坐标为( )
A.(2，
)
B.(2，
)
C.(2，-)
D.(-2，-)
2.直线：3x-4y-9=0与圆：
，(θ为参数)的位置关系是( )
A.相切 B.相离
C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心
3.若(x，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M的直角坐标和极坐标，t表示参数，则下列各组曲 线：①θ=
和sinθ=；②θ=和tgθ=
，③ρ2-9=0和ρ= 3；④
和
.
其中表示相同曲线的组数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0 ，θ1+θ2=0，则M，N两点位置关系是( )
A.重合 B.关于极点对称
C.关于直线θ=
D.关于极轴对称
5.实数x,y，θ满足x+yi=(cosθ+isinθ)(3cosθ+isinθ),当θ
变化时，点(x,y)的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
6.经过点M(1，5)且倾斜角为的直线，以定点M到动 点P的位移t为参数的参数方程是( )
A.
B.
C.
D.
7.将参数方程
(m是参数，ab≠0)化为普通方程是( )
A. =1(x≠a)
B. =1(x≠-a )
C. 
=1(x≠a)
D. =1(x≠-a )
8.把极坐标方程ρ=2sin(+θ)化为直角坐标方程为( )
A.(x-
)2+(y-)2=1
B.y2=2(x-)
C.(x-)(y-)=0 D.
＝1
9.参数方程
(t为参数)所表示的曲线是 ( )
A.一条射线 B.两条射线
C.一条直线 D.两条直线
10.双曲线
(θ为参数)的渐近线方程为( )
A.y-1=±(x+2)
B.y=±x
C.y-1=±2(x+2) D.y+1=±2(x-2)
11.直线
(t为参数)与圆
(θ为参数)相切，则直线的倾斜角为( )
A.或
B. 或
C. 或
D.- 或-
12.已知曲线
(t为参数)上的点M，N对应的参数分别为t1，t2，且t1+t2=0，那么M，N间的距离为( )
A.2p(t1+t2) B.2p(t21+t22)
C.│2p(t1-t2)│ D.2p(t1-t2)2
13.若点P(x，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy，y2-x2)也在单位 圆上运动，其运动规律是( )
A.角速度ω，顺时针方向 B.角速度ω，逆时针方向
C.角速度2ω,顺时针方向 D.角速度2ω，逆时针方向
14.已知过曲线
(θ为参数，且0≤θ≤π)上一点P 与原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是( )
A.(3，4)
B.(
，2)
C.(-3，-4)
D.(
，)
15.直线ρ=
与直线l关于 直线θ=(ρ∈R)对称，则l的方程是( )
A.ρ=
B.ρ=
C.ρ=
D.ρ=
(二)填空题
16.双曲线
的中心坐标是
.
17.参数方程
(θ为参数)化成普通方程为
.
18.极坐标方程ρcos(θ-)=1的直角坐标方程是
.
19.抛物线y2=2px(p＞0)的一条过焦点的弦被焦点分成m、n长的两段，则
=
.
(三)解答题
20.设椭圆
(θ为参数) 上一点P，若点P在第一象限，且∠xOP=，求点P的坐 标.
21.曲线C的方程为 (p＞0，t为参数)，当t∈［-1，2］时 ，曲线C的端点为A，B，设F是曲线C的焦点，且S△AFB=14，求P的值.
22.已知过点P(1，-2)，倾斜角为的直线l和抛物线x2=y+m
(1)m取何值时，直线l和抛物线交于两点?
(2)m取何值时，直线l被抛物线截下的线段长为
.
23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线
(θ 为参数)的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为
，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.
24.A，B为椭圆=1，(a＞b＞0) 上的两点，且OA⊥OB，求△AOB的面积的最大值和最小值.
25.坐标平面上有动点P(cos2t+sin2t,-cos2t+sin2t),Q(cost-sint,cost+sint),t∈［0,π］,当t变化时：
(1)求P，Q两动点的轨迹；
(2)当｜PQ｜＝时，求t的值.
参考答案
【同步达纲练习】
(一)1.C 2.D 3.C 4.C 5.D 6.A 7.A 8.A 9.B 10.C 11.A 12.C 13.C 14.D 15.D
(二)16.(2，-1)；17.y2=-2(x-),(x≤);18.x+y-z=0；19.
(三)20.(
，
)；21.
；
22.(1)m＞
,(2)m=3；23.
(27-3
)；24.Smax=
，smin=
;
25.(1)P点轨迹为圆x2+y2=2,Q点的轨迹为半径圆x2+y2=4(y≥0)，(2)t=或t=.