抽样测试高三数学试卷（理科）
学校 班级 姓名
| 题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 | |||||
| 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | ||||
| 分数 | |||||||||
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、圆x2＋y2－2x=0的圆心到直线
x的距离是（ ）
A、
B、
C、
D、
2、函数
的图象是（ ）
3、极坐标方程
表示的曲线是（ ）
A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、圆
4、等差数列{a n}中，已知
，a2＋a5=4，a n =33，则n为（ ）
A、48 B、49 C、50 D、51
5、圆锥侧面展开图扇形圆心角的弧度数为
，则圆锥母线与底面所成角的余弦值是（ ）
A、
B、
C、
D、
6、使不等式
成立的x的取值范围是（ ）
A、(0 ，1) B、
C、(1 ，＋∞) D、
7、将3种农作物都种植在如图的4块试验田里，每块种植一种农作物，要求相邻的试验田不能种植同一种作物，则不同的种植方法共有（ ）
A、6种 B、12种 C、18种 D、24种
8、关于函数f (x)=
(x∈R且x≠0)，有下列三个结论：
①f (x)的值域为R；
②f (x)是R上的增函数；
③对任意x∈R，有f (－x)＋f (x)=0成立
其中全部正确的结论是（ ）
A、①、②、③ B、①、③ C、①、② D、②、③
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上
9、设集合A={－3，－2，－1，0，1，2，3}，映射f ：A→B把集合A中的元素k映射到B中的元素k ，则在影射f下，－2的象是 ；若集合B中每个元素都有原象，则集合B中的元素个数是 个。
10、将参数方程
（为参数）转化为直角坐标方程是
；该曲线上的点与定点A(－1，1)距离的最小值是
11、设z∈C，且(1－i )z =2i ，则z= ； z =
12、直线x＋y=0的倾斜角是 ；它与直线
的夹角是
13、已知m、n表示直线，
表示平面，给出下列两个命题：
①m⊥，n∥，则m⊥n； ②m⊥，m⊥n，则n∥
其中错误的一个命题是 （填命题序号）；因为当 时，该结论不成立
14、设函数f (x)= log2x－2log2(x＋1)，则f (x)的定义域是 ；f (x)的最小值是 。
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15、（本题满分12分）
设a＞０且a≠1，解关于x的不等式： 
16、（本题满分14分）
已知函数f (x)=4 sin2x＋2sin2x－2，x∈R
(Ⅰ)求f (x)的最小正周期及f (x)取得最大值时x的集合；
(Ⅱ)求证：函数f (x)的图象关于直线
对称
17、（本题满分14分）
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB=BC=2，BB1=3，连接BC1，过B1作B1E⊥BC1交CC1于点E
(Ⅰ)求证：AC1⊥平面B1D1E；
(Ⅱ)求三棱锥C1－B1D1E1的体积；
(Ⅲ)求二面角E－B1D1－C1的平面角大小
18、（本题满分14分）
已知函数f (x)=－3x＋3，x∈
(1)求f (x)的反函数y=g (x)；
(2)在数列{a n}中，a1=1，a2=g (a1)，a3=g (a2) ，…an=g (an－1)
求证：数列
是等比数列，并求
a n 的值；
(3)解关于n的不等式：
19、某企业2000年底共有员工2000人，当年的生产总值为1.6亿元，该企业规划从2001年起的10年内每年的总产值比上一年增加1000万元；同时为扩大企业规模，该企业平均每年将录用m(m＞50，m∈N)位新员工；经测算这10年内平均每年退休的员工为50人，设从2001年起的第x年（2001年为第1年）该企业的人均产值为y万元。
(1)写出y与x之间的函数关系式y=f (x)，并注明定义域；
(2)要使该企业的人均产值在10年内每年都有增长，则每年录用新员工至多为多少人？
20、（本题满分14分）
椭圆C1：
（ａ＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2右顶点为A，M为椭圆C1上任意一点，且
的最大值为
(1)求椭圆C1得离心率
(2)设双曲线C2以椭圆C1的焦点为定点，顶点为焦点；在第一象限内任取双曲线C2上一点P，试问是否存在常数λ(λ＞０)，使得∠PAF1 =λ∠PF1A恒成立？证明你的结论。
『答案』
一、选择题
1、B 2、A 3、B 4、C 5、D 6、A 7、C 8、A
二、填空题
9、2 ；4 10、
；
11、－1＋i ；
12、
；
13、② ；nÌa 14、{x x＞0} ；－2
三、
15、
解：原不等式同解于
或
………………………… ４分
或
或
………………………………………………… 8分
所以当a＞1时，原不等式的解集为
；……………………………………… 10分
当0＜a＜１时，原不等式的解集为
……………………………12分
16、
(1)解：f (x)= 4sin2x＋2sin2x－2= 2sin2x－2 (1－2sin2x)= 2sin2x－2cos2x
=2
…………………………………………………………………… 5分
所以f (x)的最小正周期是π ……………………………………………………………… 6分
∵x∈R，所以
，即
时，f (x)的最大值为，
即f (x)取得最大值时x的集合为
………………………………… 8分
(2)证明：欲证函数f (x)的图象关于直线对称，只要证明对于任意x∈R，有
成立即可。
∵
；
∴
从而函数f (x)的图象关于直线对称 ………………………………………… 14分
[注：如果学生用
；或求出所有的对称轴方程，然后验证是其中一条，则 (2)中扣去2分]
17、
(1)证明：连接A1C1交B1D1于点O
∵ABCD－A1B1C1D1是长方体
∴AA1⊥平面A1B1C1D1，A1C1是AC1在平面A1B1C1D1上的射影
∵AB=BC，∴A1C1⊥B1D1，
根据三垂线定理得：AC1⊥B1D1；………………………… 3分
∵AB⊥平面BCC1B1，且BC1⊥B1E，
∴AC1⊥B1E
∵B1D1∩B1E=B1，
∴AC1⊥平面B1D1E1 ………………………………………………………………………………… 5分
(2)解：在RT△BB1C1中，
在RT△EC1B1中，C1E=B1C1·tg∠C1B1E=B1C1·ctg∠BC1B1=2
，……………… 8分
∴VC1－B1D1E = VD1－B1C1E =
……………
10分
(3)解：连接OE，∵△B1C1E1 ≌△D1C1E1 ， ∴B1E=D1E
∵O是B1D1中点， ∴B1D1⊥OE，
∴∠C1OE是二面角E―B1D1―C1的平面角……………………………………… 12分
在RT△OC1E中，∵
所以，二面角E―B1D1―C1的平面角为
， ………………………… 14分
18、
(1)解：因为函数f (x)=－3x＋3，
的值域是[0，1]
所以f (x)的反函数为g (x)=
，
………………………………………… 3分
(2)解：依题意得 
所以
即
根据等比数列的定义得：数列是公式为
的等比数列…………………… 7分
所以
所以
…………………………………………………… 9分
所以
………………………………………………
11分
(3)解：
显然当n是偶数时，此不等式不成立；
当n是奇数时，
所以原不等式的解为n=1或n=3 …………………………………………………… 14分
19、
(1)解：从2001年起的第x年（2001年为第1年）该企业的总产值是16000＋1000x（万元），此时该企业的员工数为2000＋（m－50）x（人），………………………………… 2分
所以
，(1≤x≤10，x∈N)， …………………………………… 5分
(2) 解：依题意，该函数为定义域上的增函数
任取1≤x1＜x2≤10，x1、x2∈N，
f (x1)－f (x2) = 
= 
………………………………… 8分
令f (x1)－f (x2)＜０，∵1≤x1＜x2≤10，m＞50，
∴x1－x2＜0，2000＋(m－50)x1＞0， 2000＋(m－50)x2＞0 ，
∴
＞０，解得：m＜175
∵m∈N，∴该企业每年录用新员工至多为174人 ………………………………… 12分
20、
(1)解：作出椭圆的左准线l，作MN⊥l交l于点N，设M(x，y)，椭圆的离心率是e，椭圆的半焦距是c，根据椭圆的定义得：
，
所以
，
同理可得：
所以
，其中
由得最小值为得：
，解得：
………………………………………
4分
[注：若学生没有证明
，而直接使用此结论，则(1)中扣去1分]
(2)解：依题意得双曲线C2的离心率为2，
设C2的方程是
假设存在适合题意得常数λ(λ＞0)
①先来考查特殊情形下的λ值：
当PA⊥x轴时，将x=2c代入双曲线方程，解得 y=3c，
因为 AF1=3c，所以△PAF1是等腰直角三角形，
∠PAF1=90o，∠PF1A=45o，此时λ=2 …………………………………………………… 7分
②以下证明当PA与x轴不垂直时，∠PAF1=2∠PF1A恒成立。
设P(x1，y1)，由于点P在第一象限内，所以直线PF1斜率也存在，
因为PA与x轴不垂直，所以直线PA斜率也存在，
因为
，所以
，将其代入上式并化简得：
因为∠PAF1=＋∠PA=180o，所以
即tg2∠PF1A=tg∠P A F1 ………………………………………………………… 12分
因为
，
，
所以
，所以
恒成立。
综合①、②的：存在常数λ=2，使得对位于双曲线C2在第一象限内的任意一点P，恒成立 ………………………………………………………………… 14分
[注：②中如果学生认为
，本题不扣分]