高中学生学科素质训练
高三数学同步测试（4）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B） S=4πR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P（A·B）=P（A）·P（B） 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P. 
那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概
率 其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．设P、Q是两个非空集合，定义P*Q＝{(a，b)a∈P，b∈Q}，若P＝{0，1，2}，Q＝{1，2，3，4}，则P*Q中元素的个数是 （ ）
A.4个 B.7个 C.12个 D.16个
2．某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了. 下面大致能上反映出小鹏这一天（0时—24时）体温的变化情况的图是 （ ）
 |
A B C D
3．一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：
； 
；
；
；
；
.
则样本在
上的频数为 （ ）
A. 
B.
C. 
D.
4．表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是 （ ）
A．
B.
C．
D．
5．函数
的图象如图所示，则
的解析式可能是 （ ）
A．
B．
C．
D．
6. 已知向量a=
b=
a与b的夹角为
，则直线
与圆
的位置关系是 （ ）
A. 相切 B. 相交
C. 相离
D. 随
的值而变化
7．已知线段AD∥平面α，且与平面α的距离等于4，点B是平面α内动点，且满足AB＝5，若AD＝10，则点D与点B的距离d满足 （ ）
A. d的最大值为
，无最小值
B. d的最小值为
，无最大值
C.
d的最大值为
，最小值
D. d的最大值为
，最小值为
8．三人传球由甲开始发球，并作第一传球，经5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方法共有 （ ）
A. 6种 B. 8种 C. 10种 D. 16种
9．半径不等的两定圆
无公共点，动圆
与都内切，则圆心O是轨迹是（ ）
A. 双曲线的一支 B. 椭圆
C. 双曲线的一支或椭圆 D. 抛物线或椭圆
10．正三棱锥
的侧棱长和底面边长相等，如果E、F分别为SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成角为 （ ）
A．
B．
C．
D．
11．设二次函数
对于任意t都有
，且在闭区间［m，0］上有最大值5，最小值1，则m的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
12. 某地每年消耗木材约20万
，每价480元，为了减少木材消耗，决定按
征收木材税，这样每年的木材消耗量减少
万，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，则
的范围是 （ ）
A. [1，3] B.[2，4]
C. [3，5] D.[4，6]
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上.
13．
右图表示周期函数y=f(x)的变化规律，由
图象可以观察 出f(x)的最小正周期是_______．
14．要制造一个底面半径为4cm，母线长为6cm的圆锥，用一块长方形材料做它的侧面，这样的长方形的长与宽的最小值分别是 .
15．在二项式
和
的展开式中，各项系数之和记为
是正整数，则
=
16．函数f(x)满足f(nx)＝[ f(x)]n，写出一个满足上述条件的函数_______．
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
是否存在常数c，使得不等式
对任意正实数x、y恒成立？证明你的结论．
注意：考生在（18甲）、（18乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（18甲）计分.
18．（本小题满分12分）
（甲）如图，已知矩形ABCD和矩形CDEF所在平面互相垂直，
(I)如果AB=2，P为AB中点，求点P到平面CDEF的距离及二面角D—EC—P的正切值;
(II)设AB=a，问在线段AB上是否存在点P使得EP⊥PC，并说明理由.
(乙) 如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=
，BB1=
，D为A1C1的中点，E为B1C的中点，
（Ⅰ）求直线BE与A1C所成的角；
（Ⅱ）在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出
；若不存在，说明理由．
19．（本小题满分12分）
若数列
满足对一切
，
，且
，
是数列的前
项的和，求证：
（I）
（II）
20．（本小题满分12分）
已知：有6个房间安排4个旅游者住，每人可以进住任一房间，且进住房间是等可能的，试求下列各事件的概率：
(I)事件A：指定的4个房间各有1人；
(II)事件B：恰有4个房间各有1人；
(III)事件C：指定的某个房间有2人.
21．（本小题满分14分）
在平行四边形ABCD中，A（1，1），
，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.
（I）若
，求点C的坐标；
（II）当
时，求点P的轨迹.
22．（本小题满分14分）
已知函数f(x)=x3+(b-1)x2+cx(b、c为常数).
(I) 若f(x)在x=1和x=3处取的极值,试求b、c的值；
(II) 若f(x)在x∈(-∞,x1)、(x2,+∞)上单调递增且在x∈(x1,x2)上单调递减,又满足
x2-x1＞1,求证：b2＞2(b+2c)；
(III)在(2)的条件下,若t＜x1，试比较t2+bt+c与x1的大小,并加以证明.
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高三数学同步测试（4）参考解答
一、选择题
1.C 2.C 3.D 4.A 5.C 6.C 7.D 8.C 9.C 10.C 11.B 12.C
二、填空题
13．
14．12cm, 9cm. 15． 
16．f(x)＝
等．
三、解答题
17．当
时，由已知不等式得
…3分 下面分两部分给出证明：
⑴先证
，
此不等式
，此式显然成立； ………………7分
⑵再证
，
此不等式
，此式显然成立．………10分
综上可知，存在常数
，是对任意的整数x、y，题中的不等式成立．……12分
18． （甲小题）
(I) 过P作PQ⊥CD于Q，则PQ=AD=1. ∵平面ABCD⊥平面CDEF, ∴PQ⊥平面CDEF.
∴点P到平面CDEF的距离为1. ………2分
过P作PR⊥EC于R，连结QR，则QR⊥EC.
∴∠PRQ为二面角D—EC—P的平面角. ………4分∵
, △PQR中，PQ⊥QR.
∴tan∠PRQ=
………… 6分
(II)假定线段AB上存在点P使得EP⊥PC
连结PD，由ED⊥平面ABCD知
EP⊥PCPD⊥PC …………8分 设∠BCP=
，则BP=tan,AP=cot.
∵AB=AP+PB,
∴tan+cot=a, a………10分 ∵tan+cot ≥2,
∴当a≥2时, 存在点P, 使EP⊥PC;
当0<a<2时, 不存在点P, 使EP⊥PC. ………12分
18（乙小题）
（Ⅰ）以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． ……2分
，…………3分
，
，
，
． ……………5分
故
与
所成的角为
．
…………6分
（Ⅱ）假设存在点
，使
，不妨设
，
，
，……………8分
……………………9分
由
， ……………11分
故当
．……………………12分
19．(I) 由，得
……………4分
所以
…………6分
(II)
由
，得
，
，
……，
，
……………8分
叠加这个不等式，得
， ……………10分
即 
，
，
，
，
…………12分
20．由于每人可进住任1房间，进住哪间房是等可能的，每人都有6种等可能的方法， 根据乘法原理，4人进住6个房间共有64种方法
（I）指定的4个房间各有1人，有
种方法，
. …………4分
（II）从6间中选出4间有
种方法，4个人每人去1间有种方法，
. ………8分
（III）从4人中选2个人去指定的某个房间，共有
种选法，余下2人每人都可去5个房间中的任1间,因而有52种种方法.
. ……………12分
21． （I）设点C坐标为（
.
又
,
……………3分
即 
,
, 即点C（0，6）.
…………6分
（II）设
，则 
,…………8分
……………10分
ABCD为菱形.
.
…12分
故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半圆去掉与直线
的两个交点. …………14分
22． (I) f/(x)=x2+(b-1)x+c , ……………2分
据题意知,1和3是方程x2+(b-1)x+c=0的两根,
∴1-b=1+3=4, c=1×3=3,即b=-3, c=3 ……………4分
(II) 由题意知,当x∈(-∞,x1)、(x2,+∞)时, f/(x)＞0；
当x∈(x1,x2)时, f/(x)＜0. ……………6分
所以x1、x2是方程x2+(b-1)x+c=0的两根,则x1+x2=1-b, x1x2=c.
∴b2-2(b+2c)= b2-2b-4c=[1-(x1+x2)2]-2[1-(x1+x2)]-4x1x2=(x1+x2)2-1
∵x2-x1＞1, ∴(x1+x2)2-1＞0 ∴b2＞2(b+2c). ……………9分
(III)在(II)的条件下,由上题知x2+(b-1)x+c=(x-x1)(x-x2)
即x2+bx+c=(x-x1)(x-x2)+ x ……………11分
所以 (t2+bt+c)-x1=(t-x1)(t-x2)+t-x1=(t-x1)(t+1-x2)
∵x2＞1+x1＞1+t,
∴1+t-x2＜0.
又0＜t＜x1 ∴t-x1＜0.
∴(t-x1)(t+1-x2)＜0,
故t2+bt+c＞x1. ……………14分