高三数学新编立体几何内容分析及复习建议
一、 教材、考试要求的变化
新教材立体几何内容变化较大，主要是删去了棱台、旋转体、球冠、多面体及旋转体体积等；增加了正多面体的概念，多面体的欧拉公式，最大变化是首次引入空间向量，并用这一工具去解决空间直线的平行、垂直关系，以及求空间的“距离”、“角”。从近几年的高考题来看，新教材的甲组题（即9B考题）比乙组题（即9A考题）和全国题都容易做。还有用向量方法去解部分传统的立体几何题也是有优势的，如2000、2003年全国高考立体几何题，普遍都认为较难，但如果用向量方法去解，就很简单了。因此，要重点掌握“空间向量”，并突出其“工具性”。
二、立几题的空间向量解法分析
利用空间向量解立几题，体现了空间的数形结合思想，顺应了几何改革代数化的方向；利用空间向量解立几题，首先应是确定基向量。即
或单位正交基底
。
1、利用空间向量解线线平行、垂直问题
【例1】（2003全国节选）正方体
中，
分别为
的中点，证明：
与平面
不垂直。
分析：用传统方法证明与
不垂直，有难度；
利用向量：
，
，所以与不垂直。
【例2】（2003全国）如图，直三棱柱
中，底面是等腰直角三角形，
，侧棱
分别是CC1与A1B的
中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。
（1）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三
角函数值表示）；
（2）求点A1到平面AED的距离.
简析：传统解法解此题难点一是重心G的运用，而用向
量解：由
很快得
，
二是如何由条件求出
的长，应用向量则由
与
垂直易得
。
2、利用空间向量解探索性问题
对于立几中的探索性问题及存在性问题，用“形”解难度很大，而“数”中的待定系数法正好运用。
【例3】(2000全国节选)如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD=∠BCD=60°。
的值
为多大时，能够使A1C⊥平面C1BD ? 请给出证明。
解：设
，
，则
，
当
时
，解得
，所以=1时A1C⊥平面C1BD。
【例4】（94全国节选）如图，已知是正三棱柱，
是的中点，
，求二面角
的度数。
简析：此题学生很易作出二面角的平面角
，
但用传统方法难以求出
与
的长度关系；
若用向量解：在如图坐标系下，设
，
则
，
，
，
，
，
得，
，
，很快得出结论。
3、利用平面的法向量求解角和距离问题
当作平面的垂线难度较大时，可利用平面的法向量求解一些角和距离问题。如图，平
面
的法向量为
，
为平面的斜线，
为斜足，则
与平面所成的角
；用向量在法向量
上的投影公式易得：点
到平面的距离
；当与异面直线，
都垂直时，
为异面直线，的距离公式。设二面角
，
分别为平面
的法向量，则二面角的大小为
或它的补角。
【例5】（教材习题）棱长为1的正方体
中，
求面对角线
和
的距离。
解：建立如图直角坐标系，则
，设
，由
，
得
令
，则
，又
，所以
。
三、复习建议和能力要求
第二轮复习侧重的应是解题能力的培养，尤其是读题能力、类比能力和转化能力；对于立体几何的能力培养，我认为应从以下几方面着手：
1、重视已知条件与图形的对号入座
解立几题一般需作好两个图，一是立体图，把已知条件中的线段长、角度值在图中标出，对于图形翻折、旋转等问题把折前及折后的长度、角度对应起来，往往发现解题思路或部分结论。二是用来计算的铅垂放置的平面图（解题关键图），利于正确运算。
【例6】（2003汕头一模）已知
是矩形，
平面
，
，
分别是
的中点；（1）求证：二面角
是直二面角；
（2）求点到平面
的距离。
简析：依次标出已知条件得到
，
，所以
，
，从而（1）得到证明，（2）也可利用到平面的距离为到平面的距离的一半得以很快解决。
2、重视常见体在解题中的利用
著名数学家波利亚指出：试着解决一个容易着手的简单问题，特殊的问题，类似的问题。立体几何中也是如此，一些具有特殊条件问题利用特殊体去解决能使解题简捷明快。如正四面体可在正方体中截得，三射线两两垂直、锐角在一个平面上的射影为直角时可在长方体里找到，空间四射线两两夹角相等可在正四面体找到等。
【例7】（2003全国高考）一个四面体的所有棱长都为
，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A．3π B．4π C．
D．6π
简析：棱长为1的正方体中，连接面对角线
得到四面体
各棱长为，
从而得到球直径为
。
【例8】（教科书复习参考题九
）
是球面上四点，
两两垂直，且
，求球的体积和面积。
3、重视常规思路在解题中的应用
解立体几何题的一大难点是如何添加辅助线，而如何添加辅助线有一定规律。如：线段中点——用中位线；三角形等腰——底边上的中线垂直底边；两直线异面——平移为相交直线；具有面的垂线——用三垂线定理或逆定理；线面平行，面面垂直——用性质定理；同一点出发三直线两两垂直——建立空间直角坐标系等。这些常规通过讲练应使学生熟练掌握。
4、重视解题思维习惯的形成
养成良好的思维习惯，可避免小题大做，少走弯路。如求角度值时应：找角——作角——转移角——用向量计算
；即先找现成的角，看看是否就是要求的角，不是的话试着作角，作角有难度的话通过平移转移角，实在不行用“数”解。类似的，求距离时应找高线——作高线——按比例转移——用向量计算等。
总之，空间向量在立几中的应用，特别是用数量积求异面直线所成的角、斜线和平面所成的角、二面角的平面角；用向量在法向量上的投影求点到平面的距离，异面直线间的距离；用待定系数法求解立几开放题、探索题等。确实体现了它的强大功能。但不可否认，传统方法也有它的优越性，一旦空间的位置关系搞清楚了，计算量较小，正确率高。这“数”和“形”两条路应正确理解，合理选择。