高三数学普通高等学校春季招生考试2
一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）
（A）5（1－38i） （B）5（1＋38i） （C）1＋38i （D）1－38i
（2）不等式2x2－1≤的解集为
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）已知F1、F2为椭圆
（
）的焦点；M为椭圆上一点，MF1垂直于x轴，且∠F1MF2＝600，则椭圆的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）
（A）0 （B）32 （C）－27 （D）27
（5）等边三角形ABC的边长为4，M、N分别为AB、AC的中点，沿MN将△AMN折起，使得面AMN与面MNCB所处的二面角为300，则四棱锥A－MNCB的体积为
（A）
（B） （C）
（D）3
（6）已知数列
满足
，
（
），则当时，
＝
（A）2n （B）
（C）2n－1 （D）2n－1
（7）若二面角
为1200，直线
，则
所在平面内的直线与m所成角的取值范围是
（A）
（B）[300，600] （C）[600，900] （D）[300，900]
（8）若
，则
＝
（A）2－sin2x （B）2＋sin2x （C）2－cos2x （D）2＋cos2x
（9）直角坐标xOy平面上，平行直线x＝n（n＝0，1，2，……，5）与平行直线y＝n（n＝0，1，2，……，5）组成的图形中，矩形共有
（A）25个 （B）36个 （C）100个 （D）225个
（10）已知直线l：x―y―1＝0，l1：2x―y―2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是
（A）x―2y＋1＝0 （B）x―2y―1＝0 （C）x＋y―1＝0 （D）x＋2y―1＝0
（11）已知向量集合
，
，则
＝
（A）{（1，1）} （B）{（1，1），（－2，－2）}
（C）{(－2，－2)} （D）
（12）函数
的最小正周期为
（A）
（B）
（C）
（D）2
二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
（13）抛物线
的准线方程为
.
（14）在5名学生（3名男生，2名女生）中安排2名学生值日，其中至少有1名女生的概率是 .
（15）函数
（
）的最大值为
.
（16）若
的展开式中常数项为－20，则自然数n＝ .
三. 解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
解关于x的不等式：
（
且
）.
（18）（本小题满分12分）
已知正项数列
的前n项和
，求的通项公式.
（19）（本小题满分12分）
已知
，直线l1：y＝kx，l2：y＝－kx.
（Ⅰ）证明：到l1、l2的距离的平方和为定值a（a＞0）的点的轨迹是圆或椭圆
（Ⅱ）求到l1、l2的距离之和为定值c（c＞0）的点的轨迹.
（20）（本小题满分12分）
已知三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长均为a，侧面A1ACC1⊥底面ABC，A1B＝
a，
（Ⅰ）求异面直线AC与BC1所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：A1B⊥面AB1C.
（21）（本小题满分12分）
已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品.现需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止.设ξ为取出的次品，求ξ的分布列及Eξ.
（22）（本小题满分14分）
已知抛物线C：
，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线.
（Ⅰ）若C在点M的法线的斜率为－，求点M的坐标（x0，y0）；
（Ⅱ）设P（－2，a）为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.
参考答案
一、选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | D | A | C | C | A | C | D | D | D | B | C | B |
二、填空题
（13）x＝－；
（14）0.7； （15）
；
（16）3.
三、解答题
（17）当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
.
（18）
.
（19）（Ⅰ）k＝1时为圆；k≠1时为椭圆.
（Ⅱ）动点的轨迹为矩形.
（20）（Ⅰ）
；（Ⅱ）略.
（21）ξ的分布列为：
| ξ | 2 | 3 | 4 |
| P |
|
|
|
Eξ＝
.
（22）（Ⅰ）M（－1，）；
（Ⅱ）当a＞0时，在C上有三个点（－2＋
，
），（－2－，）及
（－2，－），在这三点的法线过点P（－2，a），其方程分别为：
x＋2y＋2－2a＝0，
x－2y＋2＋2a＝0，
x＝－2.
当a≤0时，在C上有一个点（－2，－），在这点的法线过点P（－2，a），其方程为：x＝－2.