高三数学联合诊断性考试（第一次）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）
1．如果A={xx>－1}，那么正确的结论是 （ ）
A．0
A B．{0}∈A C．{0} 
A
D．
∈A
2．设
(Z是整数集)，则
的值域是 （ ）
A．{－1，
} B．（－1，－，，1）
C．（－1，－，0，，1） D．{，1}
3．给定两个向量
平行，则x的值等于 （ ）
A． B．
C．1 D．2
4．由函数f(x)=sin2x的图象得到g(x)=cos(2x－
)的图象，需要将f(x)的图象 （ ）
A．向左平移
个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
5．抛物线
与双曲线
的准线重合，侧a的值为 （ ）
A．±10 B．±5 C．±4 D．±2
|
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
时，则z的值为 （ ）
A．
B．5 C．
D．2
8．已知
、
为两个非零向量，有以下命题：①
=
，②·=，③、=且∥.其中可以作为=的必要但不充分条件的命题是 （ ）
A．② B．①③ C．②③ D．①②③
9．已知
的最小值是 （ ）
A．4 B．12 C．16 D．18
10．等差数列
的公差为1，且
等于 （ ）
A．16 B．33 C．48 D．66
11．圆心在直线y+2x=0 上，且与直线x+y－1=0相切于点P（2，－1）的圆的方程为 （ ）
A．
B．
C．
D．
12．某圆开磁带盘空盘时盘芯直径为80mm，绕满磁带时直径为160mm . 已知磁带的厚度是0.1mm .则该盘卷满的磁带长度大约有多少米？ （ ）
A．90 B．120 C．150 D．180
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
13．△ABC中，B=45°，b=
则A等于
.
14已知点P分有向线段
的比是－3，则P1分有向线段
所成的比是
.
15．当x=3时，不等式
成立，则此不等式的解集是
.
16．设函数
等于
.
三、解答题：（本大题6个小题，共74分，必需定出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.）
17．（12分）已知函数
（1）求f(x)的最大值与最小值；
（2）若
的值.
18．（12分）（1）已知=4，=3，（2－3）·（2+）=61，求与的夹角θ；
（2）设
=（2，5），
=（3，1），
=（6，3），在上是否存在点M，使
，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.
19．（12分）已知直线y=kx－1又曲线x2－y2=1的左支交于A、B两点，若另一直线l经过点P（－2，0）及线段AB的中点Q，求直线l在y轴上的截距b的取值范围.
20．（12分）某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：
| 班级学生数 | 配备教师数 | 硬件建设（万元） | 教师年薪（万元/人） | |
| 初中 | 60 | 2.0 | 28 | 1.2 |
| 高中 | 40 | 2.5 | 58 | 1.6 |
根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜.根据以上情况，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大利润多少万元？
（利润=学费收入－年薪支出）
21．（12分）已知数列{an}中，a1=40,an+1－an=na+b，其中a、b为常数且n∈N*，a∈N*，b为负整数.
（1）用a、b表示an；
（2）若a7>0,a8<0，求通项an.
22．（12分）定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),且当x∈[－1，1]时，f(x)=x3.
（1）求f(x)在[1，5]上的表达式；
（2）若A={x
f(x)>a,x∈R},且A
，求实数a的取值范围.
数学答案（文）
一、选择题（本大题12个小题，每小题5分，共60分）
CBAB、ACAD、CDDC
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
13．30°；14.－
；15.
；16. 
三、解答题：（本大题6个小题，共74分）
17．（12分）
解：（1）由f(0)=2a=2, 得a=1 ,
…………（3分）
∴f(x)=2cos2x+2sinxcosx=sin2x+cos2x+1=
…………（5分）
∴f(x)的最大值是
，最小值是
.………………（6分）
（2）∵
.……（8分）
18．（12分）解：（1）∵（2－3）·（2+）=61，∴
…（12分）
又=4，=3，∴·=－6.…………………………………………（4分）.
………………………………………………（5分）
∴θ=120°.………………………………………………………………（6分）
（2）设存在点M，且
…………………………（8分）
∴存在M（2，1）或
满足题意.……………………（12分）.
19．（12分）解：由
设l与y轴交于M(0,b)，由P（－2，0），Q
，M(0,b)三点共线，得
…………………………（10分）
……………………………………（12分）
20．（12分）
解：设初中x个班，高中y 个班，则
……………（4分）
设年利润为s，则
……（6分）
作出（1）、（2）表示的平面区域，如图，易知当直线1.2x+2y=s过点A时，s有最大值.
|
解得A（18，12）.……（10分）
（万元）.
即学校可规划初中18个班，高中12个班，
可获最大年利润为45.6万元.……（12分）
21．（12分）
解：（1）
各式相加得，an－a1=a[1+2+3+…+(n－1)]+(n－1)b………………（4分）
……………………………………（6分）
（2）由
………………（7分）
……………………（8分）
又∵a∈N*，∴a=1，…………………………………………（9分）
把a=1代入（1）得，
把a=1代入（2）得，
∴b=－10.……………………………………………………（11分）
…………（12分）
22．（14分）解：∵f(x+2)=-－f(x), x∈R，∴f(x)= －f(x－2).……………（2分）
当x∈[1，3]时，x－2∈[－1,1],∴f(x)= －f(x－2)= －(x－2)3=(2－x)3.……（4分）
又f(x)= －f(x+2)=f(x+4), ∴f(x)是以4为周期的函数.………………（6分）
当x∈[3，5]时，x－4∈[－1,1], f(x)=f(x－4)= (x－4)3. ………………（7分）
…………………………………………（8分）
（2）当
当x∈[3,5]时，y= f(x)=(x－4)3, ∴y∈[－1,1],
∴f(x)在[1，5]上的值域为[－1,1].…………………………（10分）
又f(x)是以4为周期的函数，∴当x∈R时，f(x) ∈[－1,1]……（12分）
∴当a<1时，存在x使f(x)>a，故a的取值范围为a<1.………（14分）