高三数学第二学期 导师制（05）
一. 填空题
1.
函数
满足
，则f(0)的值为 。
2.
，则
________。
3. 过直线
上一点M向圆
作切线，则M到切点的最小距离为 _.
4. 定点
与抛物线
上一点P之间的距离为
到准线的距离为
，
取得最小值时，点P的坐标为__________。
5. 设向量
，规定两向量
之间的一个运
，若已知
，则
。
6. 已知⊙A：
及直线l：
，⊙A上到l的距离为3的
点共有 个 .
7. 双曲线
中，直线l过
，原点到l的距离为
（c为双曲线的半焦距），则双曲线中的
的值为
。
8. 设a，b是两条异面直线，给出下列四个命题：（1）存在分别经过直线a和b的两个互相平行的平面；（2）存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面；（3）存在经过直线a与b垂直的平面；（4）存在与a，b都平行且距离相等的平面。
其中正确命题的个数是 个 。
9. 已知
是双曲线
的左右焦点，P、Q为右支上的两点，直线PQ过
且倾斜角为
，则
的值为
。
10. 正三棱锥
中，E为SA的中点，F为
的中心，SA＝BC，则异面直线EF与AB所成的角是
。
11. 方程
的四个实数根组成一个首项为
的等比数列，则
。
12. 一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h的速度直达灾区，已知两地公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于
（汽车本身长度不计），那么这批物资全部运到灾区，至少需要 小时。
二. 填空题（每题4分，共16分）
13．若a、b为实数，则使
成立的一个充要条件为
（ ）
A. 
B. 
C. 
D.
14．设a，b，c分别是中∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0
与
的位置关系是
（ ）
A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直
15.
为不共线的向量，且
，以下四个向量中模最小者为 （ ）
A. 
B.
C. 
D.
|
两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°
角，为了使遮阴影面 ABD面积最大，遮阳棚ABC
与地面所成的角为 （ ）
A．75° B．60°
C．50° D．45°
三. 解答题（本大题共6个小题，满分74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.
已知函数
.
（1）求函数
的最小正周期和最大值；
|
在区间
上的图象.
18.数列{xn}由下列条件确定：
（Ⅰ）证明：对n≥2，总有
；
（Ⅱ）证明：对n≥2，总有
；
（Ⅲ）若数列{xn}的极限存在，且大于零，求
的值.
19.已知函数
的图象经过原点。
（1）若
成等差数列，求m的值；
（2）若
，正数a、b、c成等比数列，求证：
解：
20. 某厂家拟在2003年国庆节期间举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（
）满足
（k为常数），如果不搞促销活动，该产品的年销售量只能是1万件，已知2003年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件产品需要投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为年平均每件产品成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）
（1）将2003年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2003年的促销费用投入多少万元时，厂家的年利润最大？
解：
高三第二学期 导师制（05）解答
一. 填空题
1. 函数满足，则f(0)的值为 6 。
2. ，则____7_____。
3. 过直线上一点M向圆作切线，则M到切点的最小距离为_4
.
4. 定点与抛物线上一点P之间的距离为到准线的距离为，
取得最小值时，点P的坐标为__(2,2)_________。
5. 设向量，规定两向量之间的一个运
，若已知，则_（-2，1）
。
6. 已知⊙A：及直线l：，⊙A上到l的距离为3的点共有 3 个 .
7. 双曲线中，直线l过，原点到l的距离为 （c为双曲线的半焦距），则双曲线中的的 为 
。
8. 设a，b是两条异面直线，给出下列四个命题：（1）存在分别经过直线a和b的两个互相平行的平面；（2）存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面；（3）存在经过直线a与b垂直的平面；（4）存在与a，b都平行且距离相等的平面。
其中正确命题的个数是 3 个 。
9. 已知是双曲线的左右焦点，P、Q为右支上的两点，直线PQ过且倾斜角为，则的值为 
。
10. 正三棱锥中，E为SA的中点，F为的中心，SA＝BC，则异面直线EF与AB所成的角是
。
11. 方程
的四个实数根组成一个首项为
的等比数列，则
。
12. 一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h的速度直达灾区，已知两地公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于
（汽车本身长度不计），那么这批物资全部运到灾区，至少需要 10 小时。
二. 填空题（每题4分，共16分）
13．若a、b为实数，则使成立的一个充要条件为
（
D ）
A. 
B.
C. 
D.
14．设a，b，c分别是中∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0
与的位置关系是
（
C ）
A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直
15. 为不共线的向量，且，以下四个向量中模最小者为
（
A ）
A. B.
C. D.
|
两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°
角，为了使遮阴影面 ABD面积最大，遮阳棚ABC
与地面所成的角为 （ C ）
A．75° B．60°
C．50° D．45°
三. 解答题（本大题共6个小题，满分74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.
已知函数.
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）在给出的直角坐标系中，画出函数在区间上的图象.
解：（1）
|
的最小正周期为
，最大值为
.
（2）由（1）知 
故函数在区间上的图象是
18.数列{xn}由下列条件确定：
（Ⅰ）证明：对n≥2，总有；
（Ⅱ）证明：对n≥2，总有；
（Ⅲ）若数列{xn}的极限存在，且大于零，求的值.
（Ⅰ）证明：由
，可归纳证明
(没有证明过程不扣分）.
从而有
，所以，当n≥2时，成立.
（Ⅱ）证法一：当n≥2时，因为
，所以
，故当n≥2时，成立.
证法二：当n≥2时，因为
，所以
，故当n≥2时，成立.
（Ⅲ）解：记
得
，故
19.已知函数
的图象经过原点。
（1）若
成等差数列，求m的值；
（2）若，正数a、b、c成等比数列，求证：
19. 解：（1）将（0，0）代入，得：
………………（2分）
由已知可得：
………………（3分）
即：
（
舍）……………………（6分）
（2）由已知可得： 
…………（8分）
而
………（12分）
另解：
…………………（8分）
………………（10分）
∵a，b，c成等比数列 
得证……（12分）
20. 某厂家拟在2003年国庆节期间举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，该产品的年销售量只能是1万件，已知2003年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件产品需要投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为年平均每件产品成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）
（1）将2003年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2003年的促销费用投入多少万元时，厂家的年利润最大？
解：（1）设2003年生产产品x万件
时，
代入
………………（2分）
则年成本：
………………（4分）
年利润：
…………（6分）
……………………（7分）
（2）
………………（10分）
当且仅当
，即
时取等号………………（11分）
时，
万元……………………（12分）