高三数学第五次月考数学试题

高三数学第五次月考数学试题  

参考公式：　　　　　　　　　　　　　4. 正棱锥、圆锥的侧面积公式

1.如果事件A、B互斥，那么　　　　　　

其中c表示底面周长，表示斜高或母线长. 5.球的体积公式

P（A+B）=P（A）+P（B）

2.如果事件A、B相互独立，那么

P（A·B）=P（A）·P（B）

3.如果事件A在一次试验中发生的概率

其中R表示球的半径

是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k

次的概率　

 一．选择题：（每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的请把答案填在答卷的答题表内）.

1．设P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P※Q=，则P※Q中元素个数（　　）

A．3个　　　　　　　　　　B．4个　　　　　C．7个　　　　　　　　　　　　　　　D．12个

2．的部分图象大致是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

.

3．在数列则该数列中相邻两项的乘积是负数的是

　　　 A．　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　 D．

4．设p、q为简单命题，则“p且q”为假是“p或q”为假的　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．充分不必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　 B．必要不充分条件

　　　 C．充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

5．对于任意的值恒大于零，那么x的取值范围是（　　）

A．（1，3）　　　　　　　B．　　　　　  C．（1，2）　　　　　　　　 D．

6．（理）已知函数　在点处连续，则a的值是（　　 ）

　　　 A．2　　　　　　　　　　　　B．3　　　　　　　　　　　　C．－2　　　　　　　　　　 D．－4

（文）一个容量为20的样本数据，数据的分组及各组的频数如下：

　　（10，20），2；（20，30），3；（30，40），4；（40，50），5；（50，60），4；（60，70），2.

　　　 则样本在区间（－∞，50）上的频率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．0.5　　　　　　　　　　 B．0.7　　　　　　　　　　　C．0.25　　　　　　　　　　D．0.05

7．设F₁，F₂是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且，

　　　 则的值等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．2　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．4　　　　　　　　　　　　D．8

8-．已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，有下列4个命题：

　　　 A．若a∥b，b，则a∥　　　　　　　　

　　　 B．若a⊥b，a⊥，b，则b∥

　　　 C．若⊥，a⊥，b⊥，则a⊥b　 --

　　　 D．若a，b异面，a，b，a∥，则∥

　　　 其中正确命题有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．①②　　　　　　　　　 B．②③　　　　　　　　　 C．③④　　　　　　　　　 D．②④

9．若x∈R、n∈N*，定义：=(－5)（－4）

（－3）（－2）（－1）=－120，则函数的奇偶性为　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．是偶函数而不是奇函数　　　　　　　　　　　B．是奇函数而不是偶函数

　　　 C．既是奇函数又是偶函数　　　　　　　　　　　D．既不是奇函数又不是偶函数

10．如果等于　　　

　　　 A．2003　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　B．1001　　　　　　　　　

　　　 C．2004　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　D．2002

11. 一次文艺演出中，需给舞台上方安装一排彩灯共15只，以不同的点亮方式增加舞台效果，要求设计者按照每次点亮时，必须有6只是关的，且相邻的灯不能同时被关掉，两端的灯必须点亮的要求进行设计，那么不同点亮方式的种数是　　 　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．28　　　　　　　　　　　B．84　　　　　　　　　　　 C．180　　　　　　　　　　 D．360

12．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物：（1）如不超过200元，则不予优惠；（2）如超过200元但不超过500元的按9折优惠；（3）如超过500元，其中500元按9折给予优惠，超过500元的部份给予8折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，若他只去一次购买同样价值的商品，则应付款　　　　（　　）

　　A．472.8元　　　　B．510.4元　　　　C．522.8元　　　　D．560.4元

二．填空题（每题4分，共16分，把答案填在答卷横线上）

13．（理）设复数等于　　  （文）函数单调减区间是　　 .

14．函数的图象按向量平移后成为某奇函数图象，使最小

的向量的坐标为　　　　　　　 .

15．在一个水平放置的底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入下个半径为R的

实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R，则R=　　　　　  

16．（文科做）若在的展开式中，x的一次项是第6项，则n=　　　　　

　 （理科做）函数在上的最大值是　　　　　  .

第五次月考数学试卷答卷

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案

13­ . _____________________　　　 14._________________________

15_______________________　　  16._________________________

三．解答题（17-21每题12分，22题14分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）（文科做）某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中

（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？

（理科做）摇奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金（元）为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望.

18．（本小题满分12分）

已知A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（），

（I）若求角的值；　（II）若的值.

19．（本小题满分12分）

如图，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB，点E、M分别为A₁B、C₁C的中点，

过点A₁，B，M三点的平面A₁BMN交C₁D₁于点N.

（Ⅰ）求证：EM∥平面A₁B₁C₁D₁； （Ⅱ）求二面角B—A₁N—B₁的正切值.

　

20. (本小题满分12分)

某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，

比例系数为K(K>0)，贷款的利率为4.8％，又银行吸收的存款能全部放贷出去.

(1)若存款的利率为x,x(0，0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)；

(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益? 

21．（本小题满分12分）已知椭圆的一条准线方程是其左、右顶点分别是A、B；双曲线的一条渐近线方程为3x－5y=0.

（Ⅰ）求椭圆C₁的方程及双曲线C₂的离心率；

（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C₂上一点P，连结AP交椭圆C₁于点M，

连结PB并延长交椭圆C₁于点N，若. 求证：

22. (本小题满分14分)已知函数f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+……+a_nxⁿ(nN^*),且y= f(x)的

图象经过点（1，n²）,数列｛a_n｝(nN^*)为等差数列。

（1）求数列｛a_n｝通项公式；

（2）当n为奇数时，设g(x)=[ f(x)- f(-x)]，是否存在自然数m和M，使不等式

m<g()<M恒成立，若存在，求出M-m的最小值；若不存在，说明理由。

第五次月考试题参考答案

1-5DCCBB　 6-10 B(文B)ABAC 11-12 AD 13.理 文（-2，2）

14.()　15.R=　16.文 n=8　　理　1

17．（文科）解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A、B、C，

则P（A）=0.9 P（B）=0.8，P（C）=0.85　 …………………………2分

　 （Ⅰ）

=[1－P（A）]·[1－P（B）]·[1－P（C）]

=（1－0.9）×（1－0.8）×（1－0.85）

=0.003

答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003………………6分

　 （Ⅱ）P（）

　　　　= P（

　　　　=

　　　　=[1－P（A）]·P（B）·P（C）+P（A）·[1－P（B）]·P（C）+P（A）·P（B）·[1－P（C）]

　　　　=（1－0.9）×0.8×0.85+0.9×（1－0.8）×0.85+0.9×0.8×（1－0.85）

=0.329

答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329……………………12分

　 （理科）设此次摇奖的奖金数额为ξ元，当摇出的3个小球均标有数字2时，ξ=6；当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，ξ=9；当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，ξ=12。

所以，　　　　 ………9分

　　Eξ=6×（元）

　 答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是元　……………………12分

18．（本小题满分12分）

解：（1），…………2分

，

.……………………4分

由得.　　 又.…………6分

（2）由

①………………7分

又………………9分

由①式两分平方得

……………………12分

19．（A）（Ⅰ）证明：取A₁B₁的中点F，连EF，C₁F

∵E为A₁B中点

∴EF∥ BB₁…………2分

又∵M为CC₁中点　 ∴EF∥ C₁M

∴四边形EFC₁M为平行四边形　∴EM∥FC₁　……4分

而EM 平面A₁B₁C₁D₁ . FC₁平面A₁B₁C₁D₁ .

∴EM∥平面A₁B₁C₁D₁………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）EM∥平面A₁B₁C₁D₁　EM平面A₁BMN

平面A₁BMN∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁N　 ∴A₁N// EM// FC₁　

∴N为C₁D₁ 中点

过B₁作B₁H⊥A₁N于H，连BH，根据三垂线定理　BH⊥A₁N

∠BHB₁即为二面角B—A₁N—B₁的平面角……8分

设AA₁=a， 则AB=2a，　∵A₁B₁C₁D₁为正方形

∴A₁N=　　又∵△A₁B₁H∽△NA₁D₁

∴B₁H=

在Rt△BB₁H中，tan∠BHB₁= 二面角B—A₁N—B₁的正切值为….12分

（B）（Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2a，AA₁=a(a>0)，则

A₁（2a，0，a），B（2a, 2a , 0）, C（0，2a，0），C₁（0，2a，a）……2分

∵E为A₁B的中点，M为CC₁的中点　∴E（2a , a , ），M（0，2a, ）

∴EM// A₁B₁C₁D₁ …………6分

（Ⅱ）设平面A₁BM的法向量为=（x, y , z ）

又=（0，2a , －a ）  由，得

…………9分

而平面A₁B₁C₁D₁的法向量为.设二面角为，则

又：二面角为锐二面角　，……11分

从而………………12分

20．（12分）解：（1）由题意，存款量g(x)=Kx²,银行应支付的利息

h(x)=x·g(x)= Kx³　　　　　　　　 ……………… （4分）

（2）设银行可获收益为y,则

y=0.048·Kx²–Kx³　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………（6分）

y’=K·0.096x–3 Kx²　　　　 令y’ =0　　　 即K×0.096x–3 Kx²=0

解得x=0　　　 　或x=0.032　　　　　　　　　　　  …………………（9分）

又当x(0,0.032)时，y’>0, x(0.032,0.048)时, y’<0

 y在(0,0.032)内单调递增，在(0.032,0.048) 单调递减

故当x=0.032时，y在(0,0.048)内取得极大值，亦即最大值

答：存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益　　　　　 ………………（12分）

 

21.（I）由已知………………3分

∴椭圆的方程为，双曲线的方程.

又　∴双曲线的离心率…………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）A（－5，0），B（5，0）　设M得m为AP的中点

∴P点坐标为　 将m、p坐标代入c₁、c₂方程得

消去y₀得　 解之得

由此可得P（10，………………9分

当P为（10， 时　 PB：　即

代入

　 MN⊥x轴　　 即…………12分

22．解：（1）据题意：f(1)=n²　  即a₀+a₁+a₂+a₃+……+a_n= n²

　令n=1　　则a₀+a₁=1，a₁=1–a₀

　令n=2　　则a₀+a₁+a₂=2²，a₂=4–（a₀+a₁）=4–1=3

令n=3　　则a₀+a₁+a₂+a₃=3²，a₃=9–（a₀+a₁+a₂）=9–4=5

｛a_n｝为等差数列　　 d= a₃–a₂=5–3=2

a₁=3–2=1　　　　a₀=0　　　 a_n=1+(n–1)·2=2n–1　　　………………（6分）

(2)由（1）f(x)= a₁x+a₂x²+a₃x³+……+a_nxⁿ

n为奇数时，f(–x)=–a₁x¹+a₂x²+a₃x³+……+a_n–1x^n–1+a_nxⁿ  ………………（7分）

g(x)=[ f(x)–f(–x)]= a₁x¹+a₃x³+a₅x⁵+……+a_n–2x^n–2+a_nxⁿ

g（）=1·（）+5·（）³+……+（2n–5）（）^n--2+(2n-1) （）ⁿ…（8分）

g=1·³+5·⁵+9·⁷+……+（2n–5）（）ⁿ+(2n-1) （）ⁿ⁺²

相减得g=1·+4[³+⁵+……+ⁿ]- (2n-1) （）ⁿ⁺²…（9分）

 g=–·（）ⁿ-（）ⁿ  …（10分）

令=n（）ⁿ  -=（）ⁿ·0，nN^*

 ,　随n增大而减小

又·ⁿ随n增大而减小 g为n的增函数，当n=1时，g=

而–·（）ⁿ-（）ⁿ<　　　　  g<

使m< g<M恒成立的自然数m的最大值为0，M最小值为2

M–m的最小值为2注；用其他的方法，求出m的最大值或M最小值之一，可得3分