高三数学测试题
一、填空题（48分）
1．已知复数
则
_______。
2．已知偶函数
的图象与
轴有五个公共点，那么方程
的所有实根之和为
_______。
3．在
中，
，则
_______。
4．李老师家藏有一套精装的四卷的天龙八部（金庸著），任意排放在书架的同一层上，则卷序自
左向右或自右向左恰为
的概率是__________。
5．
已知向量
，其中
，则满足条件的不共线的向量共有
_________个。
6． 已知不等式
对取一切负数恒成立，则
的取值范围是 ______________。
7．
一张报纸，其厚度为，面积为
，现将报纸对折（即沿对边中点连线折叠）7次，这时报
纸的厚度和面积分别为_________________。
8．
已知矩形
的边
平面
现有以下五个数据：
当在
边上存在点
，使
时，则可以取_____________。（填上一个正确的数据序号即可）
9． 不等式
的解集为
，那么的值等于___________。
10．某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住在第
层楼时，上下楼造成的不满意度为，但高处空气清新，噪音较小，因此随楼层升高，环境不满意程度降低，设住在第层楼时，环境不满意程度为
，则此人应选________楼。
11．在正方体
中选出两条棱和两条面对角线，使这四条线段所在的直线两两都
是异面直线，如果你选定一条面对角线
，那么另外三条线段可以是________________。
（只需写出一种情况）
12．数列
的第100项是_____________。
二、选择题（16分）
13．过点
作直线，使其在坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线的斜率为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
14．已知平面
与平面
相交，直线
，则
（ ）
（A）内必存在直线与
平行，且存在直线与垂直
（B）内不一定存在直线与平行，不一定存在直线与垂直
（C）内不一定存在直线与平行，但必存在直线与垂直
（D）内必存在直线与平行，却不一定存在直线与垂直
15．已知集合
，若
则
与集合
的关系是
（ ）
（A）
但
（B）
但
（C）且（D）且
16．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则上楼梯的方法有 （ ）
（A）45种 （B）36种 （C）28种 （D）25种
三、解答题（36分）
17．（8分）已知数列
其前项和为
，且
，当
时，
。
（1）求数列
的通项公式。 （2）若
，求数列
的前项和
。
18．（8分）在中，
, 求角
的范围。
19．（10分）有一组数据
的算术平均值为10，若去掉其中最大的
一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均值为11。 (1) 求出第一个数
关于的表达式及第个数
关于的表达式。
(2) 若
都是正整数，试求第个数
的最大值，并举出满足题目要求且取到最大值的一组数据。
20．（10分）已知函数
，满足条件： ①
；②
；
③
； ④当
时，有
。 （1）求
,
的值。
（2）由
,的值，猜想
的解析式。 (3）证明你猜想的的解析式的正确性。
参考答案
一、填空题
1．4 2．0 3．
4．
5．12 6．
7． 
8．①或② 9．
10．3
11．
12．14
二、选择题
13．C 14．C 15．B 16．C
三、解答题
17．（1）当
=1时，
；当=2时，有
；当
时，有：
.故该数列从第2项起为公比q=2的等比数列，
故
（2）由（1）知 
故数列
的前项和 
18．
解：由
＝
得：
，即
，∴
，即
。由余弦定理，得：
，∵
且函数
在
]上是减函数
∴
，即
的范围是
。
19．解： （1） 依条件得：
由
得：
，又由
得：
（2）由于
是正整数，故 
，
，故
当=10时, 
，
，
, 此时，
,
,
,
,
,
,
,
。
20．解：（i）：∵
，又
，∴
。又∵
，
，且
。∴
。
（ii）由
猜想
。
（iii）用数学归纳法证明：
（1）当=1时，，函数解析式成立；
（2）假设
时，
，函数解析式成立；
①若
， 
。
②若
， 
，
。∴
。
即
时，函数解析式成立。
综合（1）（2）可知，成立。