高三级数学科第四次月考试题

高三级数学科第四次月考试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.请将正确结论的代号填入答题卷选择题的答题卡表格中.

1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8},A＝{3,4,5},B＝{1,3,6},那么集合M＝{2,7,8}是

(A) A∪B　　　　(B) A∩B　　　 (C) C_UA∪C_UB　　　 (D) C_UA∩C_UB

2．等比数列{a_n}中，T_n表示该数列的前n项的积，若T₅＝1，则

(A) a₁＝1　　　　(B) a₃＝1　　　 (C) a₄＝1　　　　　  (D) a₅＝1

3．复数的值是

(A) i　　　　　  (B) －i　　　　 (C) 1　　　　　　　 (D) －1

4．下列四个图形中，与函数y＝3＋log₂x(x≥1)的图象关于直线y＝x对称的图形是

5．函数f (x)＝(sinx＋cosx)²＋2cos²x的最大值是

(A) 2　　　　　 (B) 3　　　　　 (C) 2+　　　　　 (D) 4

6．若，则a、b值分别是

(A) a＝14，b＝－51　　 (B) a＝－14，b＝51　　 (C) a＝14，b＝51　　 (D) a＝－14，b＝－51

7．函数f (x)＝x＋2cosx在闭区间[0, ]上的最大值是

(A) 2　　　　(B) 1＋　　　 (C) 　　　　(D) ＋

8．关于x的不等式的解集为R的充要条件是　

(A) m＜0　　　　　　　　　　　 (B) m≤－1　　　　　　 (C) m≤0　　　　　　　　 (D) m≤1

9．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁>0，若存在自然数m≥3，使得a_m＝S_m，则当n>m时,S_n与a_n的大小关系为

(A) S_n>a_n　　　　(B) S_n≥a_n 　　　　　(C) S_n<a_n　　　　(D) S_n≤a

10．已知tan110°= a,求tan50°的值(用a表示),甲得到的结果是,乙得到的结果是,对此你的判断是

(A) 甲对乙错　　　　 (B) 乙对甲错　　　(C) 甲、乙都对　　　(D) 甲、乙都错

11．若函数y＝＋ 在区间(0，1)上是减函数，则实数a的取值范围是

(A) [1, +∞)　　　　　 (B) (1,+∞)　　　　　 (C) (－∞,1]　　　　　　 (－∞,1)

12．假设世界人口自1980年起，50年内每年增长率均固定，已知1987年世界人口达50亿，1999年第60亿个人诞生在赛拉佛耶.根据这些资料推测2023年世界人口数最接近下列哪一个数　　

(A) 92亿　　　　  　　　 (B) 86亿　　　 　　　(C) 80亿　　　　  　　　 (D) 75亿

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题：本题共有4小题．只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律是零分．本题满分16分.

13．曲线处切线的倾斜角为　　　　　　　 

14．设数列，其中数列是公差为2的等差数列且　　 则的值为　　　　 .

15．若f (x)是R上的减函数，且f (x)的图象经过点A (0,3)和B (3,－1)，则不等式 f (x+1)－1<2的解集是　　　　　　　

16．已知，则＝　　　　　　 

高三级数学科第四次月考答题卷

题号	一	二	三									总分
			17	18		19	20		21	22
得分

一、第Ⅰ卷选择题答题处：

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案

二、第Ⅱ卷填空题答题处：

13．　　　　　　　　　　　　　 ；14.  　　 　　　　　　　　　　　　　 ；

15．　　　　　　　　　　　　　 ；16.　　　　　　　　　　　　　　　　  .

三、解答题：本题共有6小题，要求写出解答过程和演算、证明步骤.本题满分74分.

17．(本小题满分12分)

已知的值.

18．(本小题满分12分)

已知关于x的不等式的解集为M.

（Ⅰ）当a＝4时，求集合M；

（Ⅱ）若3∈M且5M，求实数a的取值范围.

19．(本小题满分12分)

设函数f (x)＝(1+x)²－ln(1+x)².

（1）求f (x)的单调区间；

（2）若当时，不等式f (x)<m恒成立，求实数m的取值范围；

20．(本小题满分12分)

如图，某海滨浴场的岸边可近似地看作直线a，救生员现在岸边的A处，发现海中的B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿岸边A跑到离B最近的D处，然后游向B处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海水中的行进速度为2米/秒。

（1）分析救生员的选择是否正确；

（2）在AD上找一处C，使救生员从A到C再到B的时间为最短，并求出最短时间.

21．(本小题满分12分)

已知数列{a_n}的各项均为正整数，且满足又.

(Ⅰ) 求a₁,a₂,a₃,a₄的值，并由此推测出{ a_n}的通项公式（不要求证明）；

(Ⅱ) 设的值；

(Ⅲ) 设是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N，均有？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

22．(本小题满分14分)

已知函数的定义域为R，且

（1）求证：

（2）若求证：

高三级数学科第四次月考参考答案与评分标准

一、第Ⅰ卷选择题答题处：

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	D	B	B	B	C	A	D	A	C	C	A	B

二、第Ⅱ卷填空题答题处：

13．　　135°　 ；14.   1　；15． （－1，2）　 ；16.　8　 .

三、解答题：本题共有6小题，要求写出解答过程和演算、证明步骤.本题满分74分.

17．解：………………………………5分

由两边平方得　……………………………9分

而，故原式………………………………12分

18．解：（Ⅰ）当a = 4时，原不等式可以化为 ………………2分，即………………4分　　　

　故 M为…………………………………6分　

 （Ⅱ）由3∈M得：　 ①…8分，且5　②…10分　 由①②得： …12分

19．解：（1），………………………… 2分

由>0得－2<x<－1或x>0，∴f (x)的单调递增区间为（－2，－1）和（0，＋∞）………………………… 4分

由<0得x<－2或－1<x<0，∴f (x)的单调递减区间（－∞，－2）和（－1，0） …………………………6分

（2）当时，令＝0得x＝0，（8分）∵函数f (x)在闭区间上连续，

且f (0＝1，e^-2+2，f (e－1)＝e²－2，∵e²－2> e^-2+2>1，∴f_max (x)＝f (e－1)＝e²－2，………………………… 10分

故不等式f (x)<m恒成立等价于m> f_max (x)，即m>e²－2. …………………………12分

20．解：（1）A到B的时间t₁=150秒，A到D再由D到B的时间…………………………2分

救生员的选择是正确的……………………4分

（2）设从A到C再到B的时间

…………………6分

…………………………8分，当且仅当

 ………………………10分…………12分

21．解：（Ⅰ）由解得（舍）.…………1分

由（舍）……2分　同理可求出.…3分

由此推测a_n的通项公式：.…………4分

（Ⅱ）可知数列是等差数列.……5分

当　当……6分

当. ……8分

（Ⅲ）…………………………9分

……10分

对于任意.　

是关于n的递增函数.…………11分∴要使对任意总成立，只要.即.　 .因此存在整数m，使得对任意，均有，且m的最大值为7.…………12分

22．解：（1）…………………………2分

若

…………………………5分

…………………………7分

（2）由（1）　…………………………9分

…………………………11分

…………………………12分

)

…………………………14分