高考数学全国普通主等学校招生统一考试3
考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分
一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．已知向量
(－1，2)、
=(3，m)，若┴，则m=
。
2．函数，
的定义域为
。
3．圆锥曲线
的焦点坐标是
。
4．计算：
=
。
5．已知
的反函数为
的图象经过点
，则
=
。
6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP是指国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需 年。
（按：1999年本市常住人口总数约1300）
7．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A的等价题B可以是：底面为正三角形，且
的三棱锥是正三棱锥。
8．设函数
是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段
，则在区间[1，2]上
=
。
9．在二项式
的展开式中，系数最小的项的系数为
，（结果用数值表示）
10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 。
11．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线
两点，则
。
12．在等差数列
中，若
，则有等式
成立，类比上述性质，相就夺：在等此数列
中，若
，则有等式
成立。
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。
13．复数
[答]（ ）
14．设有不同的直线
、和不同的平面、
、
，给出下列三个命题：
（1）若
，
，则
。 （2）若，
，则。
（3）若
,
，则。
其中正确的个数是
（A）0． （B）1． （C）2． （D）3．
[答]（ ）
15．若集合
是：
.
[答]（ ）
16．下列命题中正确的命题是
（A）若点
为角终边上一点，则
。
（B）同时满足
的角有且只有一个。
（C）当
时，
的值恒正。
（D）三角方程
的解集为
。
[答]（ ）
三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
17．（本题满分12分）
已知椭圆
的焦点分别为
，长轴长为6，设直
交椭圆于
、
两点，求线段的中点坐标。
[解]
18．（本题满分12分）
如图所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为
，求四面体ABCD的体积。
[解]
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。已知函数
。
（1）当
时，求函数的最小值：
（2）若对任意
恒成立，试求实数的取值范围。
[解]（1）
[解]（2）
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。
根据指令
，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度
（为正时，按逆时针方向旋转，为负时，按顺时针方向旋转－），再朝其面对的方向沿直线行走距离
。
（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对
轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点（4，4）。
（2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）。
[解]（1）
[解]（2）
21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
在XOY平面上有一点列
对每个自然数
，点
，位于函数
的图象上，且点
，点
构成一个以为顶点的等腰三角形。
（1）求点的纵坐标
的表达式。
（2）若对每个自然数，以，
为边长能构成一个三角形，求取值范围。
（3）设
，若取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列
的最大项的项数。
[解]（1）
[解]（2）
[解]（3）
22．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。
已知复数
均为实数，
为虚数单位，且对于任意复数
。
（1）试求
的值，并分别写出
和
用、
表示的关系式；
（2）将(、)作为点的坐标，(、)作为点
的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点，
当点在直线
上移动时，试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。
[解]（1）
[解]（2）
[解]（3）
全国普通高等学校招生统一考试
答案要点及评分标准
说明
1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。
2．评阅试卷，应坚持每题评阅以底，不要因为考生的解称中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
3．第17至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数，给分或扣分均以1分为单位。
解答
一、（第1题至第12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分。
1．4．
2．
3．(－4，0)，(6，0)。 4．
。 5．1．
6．9． 7．侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/…… 8．X． 9．－462。 10．
11．
12．
二、（第13题至第16题）第一题正确的给4分。
| 题号 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 代号 | C | A | A | D |
三、（第17题至第22题）
17．[解]设椭圆C的方程为
由题意
因为该二次方程的判别式△＞0，所以直线与椭圆有两个不同交点， …（8分）
设
18．[解法一]如图建立空间直角坐标系 …（2分）
由题意，有A(0，2，0)，C(2，0，0)，E(1，1，0)。设D点的坐标为(0，0，z)
，则
又
[解法二]过A引BE的平行线，交与CB的延长线于F，∠DAF是异面直线BE与AD所成的角，
∴∠DAF=
…（4分）
∵E是AC的中点，∴B是CF的中点，
AF=2BE=
。
…（6分）
又BF，BA分别是DF，DA的射影，且BF=BC=BA。
∴DF=DA。 …（8分）
三角形ADF是等腰三角形，
，
故
，
…（10分）
又
，
因此四面体ABCD的体积是
，
…（12分）
19．[解]（1）当
，
在区间
上为增函数，
…（3分）
地区间上最小值为
，
…（6分）
（2）[解法一]在区让上，
恒成立，
…（8分）
设
，
递增，∴当
时，
， …（12分）
于是当且仅当
时，函数
恒成立，
故
。
…（14分）
（2）[解法二]
，当
时，函数的值恒为正， …（8分）
当
时，函数递增，故当
，
…（12分）
于是当且仅当
时，函数恒成立，故。
…（14分）
20．[解]（1）
，得指令为
， …（4分）
（2）设机器人最快在点
处截住小球 …（6分）
则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有
，…（8分）。
即
，得
或
，
∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，
，
故机器人最快可在点
处截住小球，
（10分）
所给的指令为
，
（14分）
21．[解]（1）由题意，
，∴
，
…（4分）
[解]（2）∵函数
递减，
∴对每个自然数n，有
，则以
为边长能构成一个三角形的充要条件是
，
即
…（7分）
解得
或
∴
，
…（10分）
[解]（3）∴ ∴
…（12分）
数列是一个递减的正数数列，对每个自然数
，
于是当
时，
，当
时，
，
因此，数列的最大项的项数满足不等式且
。
22．[解]（1）由题设，
，
于是由
，
…（3分）
因此由
，
得关系式
…（5分）
[解]（2）设点
在直线上，则其经变换后的点
满足
，
…（7分）
消去，得
，
故点的轨迹方程为
…（10分）
[解]（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，
∴所求直线可设为
，
…（12分）
[解法一]∵该直线上的任一点，其经变换后得到的点
仍在该直线上，
∴
，
即
，
当
时，方程组
无解，
故这样的直线不存在。 …（16分）
当
时，由
得
，
解得
或
，
故这样的直线存在，其方程为
或
，
…（18分）
[解法二]取直线上一点
，其经变换后的点
仍在该直线上，
∴
，
得
，
…（14分）
故所求直线为
，取直线上一点
，其经变换后得到的点
仍在该直线上。
∴
，
…（16分）
即，得或，
故这样的直线存在，其方程为或，
…（18分）