高考数学试题3
第I卷（选择题 60分）
参考公式：
三角函数的积化和差公式
正棱台、圆台的侧面积公式
其中
、
分别表示上、下底面周长，
表示斜高或母线长
台体的体积公式
其中
、
分别表示上、下底面积，
表示高
一、 选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）
已知集合A=
，那么A的真子集的个数是
（A）3 （B）16 （C）15 （D）4
（2）
在复平面内，把复数
对应的向量按顺时针方向旋转
，所得向量对应的复数是
（A）
（B）
（C）2
（D）3
（3）
一个长方体共一项点的三个面的面积分别是
，，
，这个长方体
对角线的长是
（A）6 （B）3 （C）2 （D）
（4）已知
，那么下列命题成立的是
（A）若
、
是第三象限角，则
（B）若、是第二象限角，则
（C）若、是第三象限角，则
（D）若、是第四象限角，则
（5）函数
的部分图象是
 |
（6）依法纳税是公民的义务。按规定，全月工资、薪金所得不超过 800元的部分不必纳税，超过800元的部分，按下列分段累进计算税款：
| 工资、薪金所得超过800元的部分中 | 税率 |
| 不超过500元的部分 | 5% |
| 超过500元至2000元的部分 | 10% |
| 超过2000元至5000元的部分 | 15% |
| … | … |
某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于
（A） 1200~1500元 （B）900~1200元
（C）800~900元 （D）1500~2800元
（7）若
，P=
，Q=
，R=
，则
（A）Q 
PR
（B）PQ R
（C）RPQ
（D）P RQ
（8）以极坐标系中的点
为圆心，1为半径的圆的方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比
是
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）过原点的直线与圆
相切，若切点在第三象限，则该直
线的方程是
（A）y=
（B）
（C）
（D）
（11）过抛物线
的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线
段PF与FQ的长分别是
、
，则
等于
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲
面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为
（A）
（B）
（C）
（D）
第II卷（非选择题 90分）
二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横
线上。
（13）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛。3名主力
队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四
位置，那么不同的出场安排共有_____种（用数字作答）。
（14）椭圆
的焦点为
、
，点P为其上的动点，当
为钝角
时，点P横坐标的取值范围是________。
（15）设
是首项为1的正项数列，且
（
=1，2，
3，…），则它的通项公式是
=________。
（16）如图，E、F分别为正方体的面
、面
的中心，则四边形
在该正方体的面上的射影可能是_______。（要求：把可能的图的 序号都填上）
|
|
三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知函数
，
。
（I）当函数
取得最大值时，求自变量
的集合；
（II）该函数的图象可由
的图象经过怎样的平移和伸缩变换
得到？
（18）（本小题12分）
设{}为等比数列，
，已知
（Ⅰ）求数列的首项和公式比；
（Ⅱ）求数列
的通项公式。
（19）（本小题满分12分）
如图，已知平行六面体ABCD-
的底面ABCD是菱形，且
=
。
（I）证明：
⊥BD；
（II）当
的值为多少时，能使
平面
？请给出证明。
（20）（本小题满分12分）
设函数
，其中
。
 |
（I）解不等式
；
（II）证明：当
时，函数
在区间
上是单调函数。
（21）（本小题满分12分）
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。
（I）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=
；
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=
；
（II） 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最
大？
（注：市场售价和种植成本的单位：元/
kg，时间单位：天）
（22）（本小题满分14分）
如图，已知梯形ABCD中
，点E分有向线段
所成的比为
，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点。当
时，求双曲线离心率
的取值范围。
高考
参考答案
一、选择题：
（1）
n元素的真子集有
个，本题结果为
=15。答（C）。
（2）
。答（B）。
（3）
设长方体三度为
则
三式相乘得
答（B）。
（4）
若、同属于第一象限，则
，
；第二象限，则
，
；第三象限，则
，；
第四象限，则
，。（均假定
，
。）答（D）。
（5）
设
则
为奇数；又
时
故答（D）。
（6）
设收入为S元，税款为M元，则
时，M=0；
时，
时，
题设
，故
答（A）。
（7）
由平均不等式知
同理
答（B）。
（8）
所求方程是
化简得
答（A）。
（9）
设圆柱底面积半径为r,则高为
全面积，侧面积
答（C）。
（10）圆方程为
圆心为A（-2，0），半径为1，
 |
答（A）。
（11）
设PQ直线方程是
则
是方程
的两根，
其中
同理
从而
答（A）。
（另解）按选择题4选1的规定，本题中4个选择支都是常数，故应有 
常数。过F作
∥x轴，则易得
答（A）。
（12）如图，设
则
由题意知
故知
答（D）。
二、填空题：
（13）
正确答案是252。
（14）如图，设
则
且是钝角
正确答案是
（15）
（另解
不合题意舍去），
即
正确答案是
（16）平行四过形投影于左、右两侧得图③，投影于上、下、前、后四侧面都得图②。正确答案是②③。
三、解答题
（17）
解：（I）
y 取得最大值必须且只需
即 
，
。
所以，当函数取得最大值的自变量的集合为
。
——6分
（II）变换的步骤是：
（i） 把函数
的图象向左平移
，得到函数
的图象；
——9分
（ii） 令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍），得到函数
的图象；
经过这样的变换就得到函数的图象。 ——12分
（18） 解：设等比数列的公比为q，则
∵ 
(Ⅱ) 解法一：由（I）知 
故
因此
解法二：设
由（I）
（19）
（I）证明：连结
、AC，AC和BD交于O，连结
。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，BC=CD。
又∵ 
，
∴ 
，
∴ 
，
∵ DO=OB，
∴ 
BD，
但 AC⊥BD，AC∩=O，
∴ BD⊥平面
。
又 
平面，
∴ 
BD。
（II）当
时，能使
⊥平面。
证明一：
∵ ，
∴ BC=CD=，
又 
，
由此可推得BD=。
∴ 三棱锥C- 是正三棱锥。
设与相交于G。
∵ ∥AC，且∶OC=2∶1，
∴ 
∶GO=2∶1。
又 是正三角形的BD边上的高和中线，
∴ 点G是正三角形的中心，
∴ CG⊥平面。
即 ⊥平面。
证明二：
由（I）知，BD⊥平面，
∵ 
平面，∴ BD⊥。
当 时 ，平行六面体的六个面是全等的菱形，
同BD⊥的证法可得
⊥。
又 BD∩=B，
∴⊥平面。
（20） 解：（I）不等式即
，
由此得
，即
，其中常数。
所以，原不等式等价于
即 
所以，当
时，所给不等式的解集为
；
当时，所给不等式的解集为
。
（II）证明：在区间上任取
，
，使得<。
。
∵ 
，且，
∴ 
，
又 
，
∴ 
，
即 
。
所以，当时，函数在区间上是单调（递减）函数。
（21） 解：（I）由图一可得市场售价与时间的函数关系为
——2分
由图二可得种植成本与时间的函数关系为
， 
——4分
（II）设
时刻的纯收益为
，则由题意得
，
即 
——6分
当
时，配方整理得
，
所以，当=50时，取得区间
上的最大值100；
当 
时，配方整理得
，
所以，当
时，取得区间
上的最大值87.5。
综上，由100>87.5可知，在区间
上可以取最大值100，此时， 
，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。
（22）
解：如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系
，则CD⊥轴。
因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称。
依题意，记A
，C
，E
，其中
为双曲线的半焦距，
是梯形的高。
由定比分点坐标公式得
设双曲线的方程为
，则离心率
。
由点C、E在双曲线上，将点C，E的坐标和代入双曲线的方程，得
①
②
由①式得
，③
将③代入②式，整理得
，
故
由题设得，
解得
故双曲线的离心率的取值范围为